Какова должна быть длина стороны вырезанного квадрата, чтобы изготовить ящик наибольшего объема из прямоугольного листа

Lastochka

16

Чтобы решить эту задачу и найти оптимальную длину стороны квадрата, необходимо определить, какой объем ящика можно получить при разных длинах стороны квадрата. Давайте начнем:

1. Предположим, что сторона квадрата имеет длину "x" мм. Тогда измерения получаемого прямоугольного ящика будут:
- Длина ящика: (800 - 2x) мм
- Ширина ящика: (1100 - 2x) мм
- Высота ящика: x мм

2. Теперь мы можем выразить объем ящика в зависимости от "x":
Объем = Длина × Ширина × Высота
= (800 - 2x) × (1100 - 2x) × x

3. Чтобы найти максимальный объем ящика, мы должны найти такое значение "x", при котором объем ящика будет максимальным. Для этого мы можем взять производную от функции объема по "x" и приравнять ее к нулю:

\[ \frac{d}{dx}[(800 - 2x) × (1100 - 2x) × x] = 0 \]

4. Решим это уравнение для нахождения критических точек:

\[ 4000x - 6x^2 - 880000 = 0 \]

5. Решив это уравнение, мы найдем два значения "x": x = 0 и x = 183.33.

6. Теперь, чтобы определить, какое из этих значений дает максимальный объем, нам нужно проверить, находится ли точка максимума между двумя критическими точками или на концах интервала.

- При x = 0 объем ящика будет равен нулю, так как одна из его сторон будет иметь нулевую длину.
- При x = 183.33 мы получим положительный объем ящика.

Таким образом, мы можем заключить, что наибольший объем ящика можно достичь, вырезав квадрат со стороной около 183.33 мм. Это значение является оптимальным для данной задачи и обеспечит наибольший возможный объем для создания ящика.