Решите задачу из области геометрии и, если возможно, напишите ещё одну задачу из этой области

Цветочек

20

Конечно! Давайте разберем задачу из области геометрии:

Задача: В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB длиной 10 см угол B равен 60 градусов. Найдите длину катетов треугольника.

Решение:
1. Для начала, обратимся к свойствам прямоугольного треугольника. В таком треугольнике, угол между гипотенузой и катетом равен 90 градусам, а два других угла являются острыми и их сумма также равна 90 градусам.

2. У нас уже известен один угол - угол B равен 60 градусов. Таким образом, угол C будет равен 90 - 60 = 30 градусов.

3. Используя свойства треугольника ABC, мы можем найти все стороны треугольника. Обозначим катет BC как x, а катет AC как y.

4. Применим тригонометрические функции для нахождения значений x и y. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для наших углов B и C мы можем написать следующие уравнения:

\(\sin{B} = \frac{x}{10}\)
\(\cos{C} = \frac{x}{10}\)
\(\sin{C} = \frac{y}{10}\)
\(\cos{B} = \frac{y}{10}\)

5. Подставив значения углов B и C в уравнения, получим:

\(\sin{60} = \frac{x}{10}\) => \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}\)
\(\cos{30} = \frac{x}{10}\) => \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}\)
\(\sin{30} = \frac{y}{10}\) => \(\frac{1}{2} = \frac{y}{10}\)
\(\cos{60} = \frac{y}{10}\) => \(\frac{1}{2} = \frac{y}{10}\)

6. Таким образом, мы получили систему уравнений для нахождения x и y:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{y}{10}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{y}{10}\)

7. Решая систему уравнений, получим:

\(x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) см
\(y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) см

Ответ: Длина первого катета треугольника равна \(5\sqrt{3}\) см, а длина второго катета равна 5 см.

Теперь, давайте составим еще одну задачу из области геометрии:

Задача: В прямоугольнике ABCD сторона AB в 2 раза больше стороны BC. Известно, что площадь прямоугольника равна 72 квадратных сантиметра. Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение:
1. Пусть \(x\) - это длина стороны BC. Тогда сторона AB будет равна \(2x\).

2. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, то есть \(x \cdot 2x = 2x^2\).

3. По условию задачи, площадь прямоугольника равна 72 квадратных сантиметра. Запишем уравнение:

\(2x^2 = 72\)

4. Решим это уравнение:

\(x^2 = 36\)

\(x = 6\) (так как сторона не может быть отрицательной)

5. Теперь найдем длины сторон прямоугольника:

Сторона BC: \(x = 6\) см
Сторона AB: \(2x = 2 \cdot 6 = 12\) см

Ответ: Длина стороны BC равна 6 см, а длина стороны AB равна 12 см.