С каким соотношением связаны градусные меры углов 1 и 2 на рисунке 273 A BCD, если BD равно 3 см? Каков периметр ромба

Raduga_Na_Nebe

55

Чтобы найти соотношение градусных мер углов 1 и 2, мы должны использовать основное свойство ромба. В ромбе все стороны равны, поэтому длина BC равна 3 см.

Используем теорему косинусов для нахождения длины диагонали BD. Пусть угол BDC равен α. Тогда можно записать:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\alpha)\]

В данной задаче нам известно, что BD равно 3 см. Подставляя значения, получаем:

\[9 = 3^2 + CD^2 - 6 \cdot CD \cdot \cos(\alpha)\] \[(1) CD^2 - 6 \cdot CD \cdot \cos(\alpha) -6 = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно CD. Воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и найдем корни уравнения. Здесь a = 1, b = -6, c = -6:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60\]

Так как D больше нуля, то у нас есть два различных корня:

\[CD_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{60}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{15}}{2} = 3 + \sqrt{15}\] \[CD_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{60}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{15}}{2} = 3 - \sqrt{15}\]

Таким образом, длина диагонали CD может быть либо \(3 + \sqrt{15}\) см, либо \(3 - \sqrt{15}\) см.

Теперь, чтобы найти градусные меры углов 1 и 2, давайте воспользуемся тангенсами этих углов. Тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.

Для угла 1:

\[\tan(1) = \frac{CB}{CD} = \frac{3}{3 + \sqrt{15}}\]

Для угла 2:

\[\tan(2) = \frac{CB}{CD} = \frac{3}{3 - \sqrt{15}}\]

Таким образом, градусные меры углов 1 и 2 связаны соотношением:

\[\tan(1) = \frac{3}{3 + \sqrt{15}}, \quad \tan(2) = \frac{3}{3 - \sqrt{15}}\]

Чтобы найти периметр ромба ABDC, мы можем воспользоваться соотношением сторон ромба. Так как все стороны ромба равны, то периметр ромба равен:

\[4 \cdot BC = 4 \cdot 3 = 12\) см.

Наконец, чтобы найти угол BAD, нам нужно знать градусную меру только одного угла, так как противолежащие углы параллельных линий равны. В данном случае угол BAD равняется углу 2, который можно выразить через арктангенс:

\[\text{угол BAD} = \arctan\left(\frac{3}{3 - \sqrt{15}}\right)\]

Данный угол можно выразить как десятичную дробь, приближенно вычислить или оставить в форме арктангенса, в зависимости от требований задачи.

Таким образом, мы нашли соотношение градусных мер углов 1 и 2, периметр ромба ABDC и градусную меру угла BAD.