SABCD пирамидасындағы барлық қырлардың 1-ге тең және қайдан-найда салыстыруға мүмкіндік бар, SA векторы және 1)ВС; 2)ВД

Markiz

23

Добро пожаловать в удивительный мир геометрии! Давайте разберемся с задачей.

В задаче у нас есть пирамида SABCD, где все ребра равны 1. Мы хотим сравнить SA вектор с двумя другими векторами: ВС и ВД. Для этого нам нужно найти углы между этими векторами.

Давайте начнем с нахождения векторов ВС и ВД. Зная, что все ребра пирамиды равны 1, мы можем сказать, что вектор ВС по направлению совпадает с вектором AB, так как AB - это ребро пирамиды. Следовательно, мы можем записать вектор ВС следующим образом:

\(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\)

Теперь найдем вектор ВД. Вектор ВД совпадает с вектором AD, так как AD - это ребро пирамиды. Следовательно, мы можем записать вектор ВД так:

\(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA}\)

Теперь у нас есть выражения для векторов ВС и ВД. Давайте найдем угол между SA и ВС, а затем угол между SA и ВД.

Для начала найдем вектор SA:

\(\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A}\)

Так как точка S является вершиной пирамиды, которая в данном случае совпадает с началом координат, то координаты вектора SA будут просто координаты точки A, умноженные на -1:

\(\overrightarrow{SA} = -\overrightarrow{A}\)

Теперь у нас есть выражение для вектора SA. Поскольку все ребра пирамиды равны 1, то вектор SA будет иметь те же координаты, что и вектор A (1, 0, 0).

Давайте найдем угол между SA и ВС. Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}}\)

Заметим, что длина вектора SA равна 1, так как все его координаты равны 1. Длина вектора BC также равна 1, так как все ребра пирамиды равны 1. Теперь нам нужно найти скалярное произведение векторов SA и BC:

\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = (1, 0, 0) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C})\)

\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = (1, 0, 0) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) = (1, 0, 0) \cdot (1, -1, 0)\)

\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 1\)

Теперь у нас есть значение скалярного произведения векторов SA и BC. Подставим это значение в формулу для нахождения угла \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{1}{{1 \cdot 1}} = 1\)

Так как косинус угла равен 1, то угол \(\theta\) равен 0 градусов.

Теперь давайте найдем угол между SA и ВД. Для этого будем использовать ту же формулу, заменив вектор BC на вектор BD:

\(\cos(\phi) = \frac{{\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BD}}}{{|\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{BD}|}}\)

Так как вектор SA и координаты точки A равны (1, 0, 0), то значение скалярного произведения будет равно:

\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BD} = (1, 0, 0) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{D})\)

\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BD} = (1, 0, 0) \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}) = (1, 0, 0) \cdot (1, -1, -1)\)

\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BD} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 1\)

Теперь подставим это значение в формулу для нахождения угла \(\phi\):

\(\cos(\phi) = \frac{1}{{1 \cdot 1}} = 1\)

Так как косинус угла равен 1, то угол \(\phi\) также равен 0 градусов.

Итак, получается, что углы между вектором SA и векторами ВС и ВД равны 0 градусов.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как можно решить данную задачу школьного уровня. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам!