Саша записал все числа, которые являются натуральными и не превышают 1000, и которые имеют ровно 3 различных

Zhemchug

39

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выяснить, сколько чисел записал каждый из мальчиков и сравнить эти количества.

Для начала, давайте определим, что такое натуральные делители числа. Натуральные делители - это числа, на которые данное число делится без остатка. Например, натуральные делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Теперь, давайте разберемся, как найти числа, у которых ровно 3 различных натуральных делителя:

Чтобы у числа было ровно 3 различных натуральных делителя, оно должно быть квадратом простого числа. Например, числом такого типа является 9 (квадрат простого числа 3).

Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно найти все квадраты простых чисел, которые не превышают 1000.

Простые числа до 1000: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... и так далее.

Теперь найдем квадраты этих чисел: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529... и так далее.

Мы видим, что количество чисел с ровно 3 различными натуральными делителями равно количеству квадратов простых чисел, которые не превышают 1000.

Теперь, давайте посмотрим, сколько чисел записал Паша - числа, которые имеют ровно пять различных натуральных делителей.

Чтобы у числа было ровно 5 различных натуральных делителей, оно должно быть произведением двух различных простых чисел, возведенных в степень 4 (2^4 = 16, 3^4 = 81).

Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... и так далее.

Составим произведения двух различных простых чисел и возводим их в степень 4:

2^4 = 16
2^4 * 3^4 = 16 * 81 = 1296 (больше 1000, не подходит)
2^4 * 5^4 = 16 * 625 = 10000 (больше 1000, не подходит)
3^4 = 81 (меньше 1000, подходит)
3^4 * 2^4 = 81 * 16 = 1296 (больше 1000, не подходит)
3^4 * 5^4 = 81 * 625 = 50625 (больше 1000, не подходит)
5^4 = 625 (меньше 1000, подходит)

Таким образом, у нас есть всего 2 числа, у которых ровно 3 различных натуральных делителя и 2 числа, у которых ровно 5 различных натуральных делителей.

Итак, количество чисел, записанных Сашей, равно количеству квадратов простых чисел, которые не превышают 1000, а количество чисел, записанных Пашей, равно 2.

Таким образом, Саша записал на \(2\) числа больше, чем Паша.