Сбор данных о температуре во время подъёма на воздушном шаре был осуществлен с целью определить связь между

Летучая

9

Для нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \) в линейной функции, используем метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет нам найти наилучшую прямую, которая аппроксимирует данные.

Шаг 1: Создайте таблицу с двумя столбцами: "высота (км)" и "температура (градусы Цельсия)". Запишите предоставленные данные в таблицу.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{высота (км)} & \text{температура (градусы Цельсия)} \\
\hline
1,2 & 15 \\
1,8 & 11 \\
2,2 & 8 \\
2,5 & 6 \\
3,0 & 3 \\
3,3 & 1 \\
3,8 & -2 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 2: Добавьте два новых столбца в таблицу: "высота (км) - среднее" и "температура (градусы Цельсия) - среднее". Вычислите среднее значение для каждого столбца данных.

Средняя высота (км) = \(\frac{{1,2 + 1,8 + 2,2 + 2,5 + 3,0 + 3,3 + 3,8}}{7} = 2,6\) км

Средняя температура (градусы Цельсия) = \(\frac{{15 + 11 + 8 + 6 + 3 + 1 - 2}}{7} = 6,43\) градуса Цельсия

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{высота (км)} & \text{температура (градусы Цельсия)} & \text{высота (км) - среднее} & \text{температура (градусы Цельсия) - среднее} \\
\hline
1,2 & 15 & -1,4 & 8,57 \\
1,8 & 11 & -0,8 & 4,57 \\
2,2 & 8 & -0,4 & 1,57 \\
2,5 & 6 & -0,1 & -0,43 \\
3,0 & 3 & 0,4 & -3,43 \\
3,3 & 1 & 0,7 & -5,43 \\
3,8 & -2 & 1,2 & -8,43 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 3: Добавьте новый столбец в таблицу: "произведение (высота (км) - среднее) * (температура (градусы Цельсия) - среднее)" и вычислите значения для каждой строки.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{высота (км)} & \text{температура (градусы Цельсия)} & \text{высота (км) - среднее} & \text{температура (градусы Цельсия) - среднее} & \text{произведение (высота (км) - среднее) * (температура (градусы Цельсия) - среднее)} \\
\hline
1,2 & 15 & -1,4 & 8,57 & -11,998 \\
1,8 & 11 & -0,8 & 4,57 & -3,656 \\
2,2 & 8 & -0,4 & 1,57 & -0,628 \\
2,5 & 6 & -0,1 & -0,43 & 0,043 \\
3,0 & 3 & 0,4 & -3,43 & -1,372 \\
3,3 & 1 & 0,7 & -5,43 & -3,801 \\
3,8 & -2 & 1,2 & -8,43 & -10,116 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 4: Вычислите сумму значений для столбцов "высота (км) - среднее", "температура (градусы Цельсия) - среднее" и "произведение (высота (км) - среднее) * (температура (градусы Цельсия) - среднее)".

\[
\begin{align*}
\text{Сумма (высота (км) - среднее)} &= -1,4 - 0,8 - 0,4 - 0,1 + 0,4 + 0,7 + 1,2 = -0,6\text{ км} \\
\text{Сумма (температура (градусы Цельсия) - среднее)} &= 8,57 + 4,57 + 1,57 - 0,43 - 3,43 - 5,43 - 8,43 = -2,35\text{ градуса Цельсия} \\
\text{Сумма (произведение (высота (км) - среднее) * (температура (градусы Цельсия) - среднее))} &= -11,998 - 3,656 - 0,628 + 0,043 - 1,372 - 3,801 - 10,116 = -31,53
\end{align*}
\]

Шаг 5: Вычислите значения для коэффициентов \( a \) и \( b \) с использованием следующих формул:

\[
a = \frac{{\text{Сумма (высота (км) - среднее)} \times \text{Сумма (температура (градусы Цельсия) - среднее)}}}{{(\text{высота (км) - среднее})^2}}
\]

\[
b = \text{Средняя температура (градусы Цельсия)} - (a \times \text{Средняя высота (км)})
\]

Рассчитаем коэффициенты:

\[
\begin{align*}
a &= \frac{{(-0,6 \times -2,35)}}{{(-1,4^2 + -0,8^2 + -0,4^2 + -0,1^2 + 0,4^2 + 0,7^2 + 1,2^2)}} \approx 0,286 \\
b &= 6,43 - (0,286 \times 2,6) \approx 5,71
\end{align*}
\]

Таким образом, линейное уравнение, описывающее связь между температурой и высотой над уровнем моря, может быть представлено как \(y = 0,286x + 5,71\), где \(y\) - температура (градусы Цельсия), \(x\) - высота (км).