Сформируй фигуру из 20 счетных палочек, аналогичную рисунку, и убедись, что в этой фигуре имеется 21 прямоугольник

Николаевич

4

Давайте начнем с первой части задачи - сформировать фигуру из 20 счетных палочек, аналогичную рисунку, и убедиться, что в этой фигуре имеется 21 прямоугольник.

Для начала, давайте построим саму фигуру из 20 палочек. Я предполагаю, что вы имеете в виду следующую фигуру:

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
& & & & & & & & & \text{O} & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & \text{O} & \text{O} & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & & & & & & & & \\
& & & & & & & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & & & & & & & \\
& & & & & & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & & & & & & & \\
& & & & & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & & & & & & \\
& & & & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & & & & \\
& & & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & & \\
& & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & & \\
& \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \text{O} & \\
\end{array}
\]

Где символ "O" обозначает счетную палочку.

Теперь давайте посчитаем количество прямоугольников в этой фигуре. Как было упомянуто в задаче, нам нужно убедиться, что в этой фигуре содержится 21 прямоугольник.

Для этого, давайте разобьем эту фигуру на прямоугольники различных размеров и посчитаем их количество. Начнем с наименьших прямоугольников (1x1) и постепенно переходим к большим.

1x1 прямоугольники: Здесь у нас есть \(20 \times 17\) (расположение 20 по горизонтали и 17 по вертикали)

2x1 прямоугольники: Чтобы получить 2x1 прямоугольник, мы можем выбрать любые две вертикальные палочки и затем выбрать одну из 19 горизонтальных палочек, которая идет сверху или снизу пары вертикальных палочек. Таких пар вертикальных палочек у нас может быть 19 (изначально 20 палочек в вертикали, но мы сдвинемся по одной палочке итогового прямоугольника). Общее количество таких прямоугольников будет \(19 \times 17\) (цифра 17 соответствует количеству строк, а 19 соответствует количеству "позиций для пары палочек" на каждой строке).

3x1 прямоугольники: Здесь у нас будет \(18 \times 17\) таких прямоугольников.

Продолжая аналогично, мы получим:

4x1 прямоугольники: \(17 \times 17\)

5x1 прямоугольники: \(16 \times 17\)

6x1 прямоугольники: \(15 \times 17\)

7x1 прямоугольники: \(14 \times 17\)

8x1 прямоугольники: \(13 \times 17\)

9x1 прямоугольники: \(12 \times 17\)

10x1 прямоугольники: \(11 \times 17\)

11x1 прямоугольники: \(10 \times 17\)

12x1 прямоугольники: \(9 \times 17\)

13x1 прямоугольники: \(8 \times 17\)

14x1 прямоугольники: \(7 \times 17\)

15x1 прямоугольники: \(6 \times 17\)

16x1 прямоугольники: \(5 \times 17\)

17x1 прямоугольники: \(4 \times 17\)

18x1 прямоугольники: \(3 \times 17\)

19x1 прямоугольники: \(2 \times 17\)

20x1 прямоугольники: \(1 \times 17\)

Теперь нам нужно сложить все полученные значения для различных размеров прямоугольников:

\((20 \times 17) + (19 \times 17) + (18 \times 17) + \ldots + (1 \times 17)\)

При вычислениях можно заметить, что выражение \((20 + 1) \times 17\) представляет общее количество простых прямоугольников всех размеров.

Подставим значения в выражение: \((20 + 1) \times 17 = 21 \times 17 = 357\).

Таким образом, в данной фигуре содержится 357 прямоугольников. Все рассмотренные размеры прямоугольников соответствуют и верифицируют данное количество.

Теперь перейдем к второй части задачи - переставьте 7 палочек так, чтобы образовались две пары одинаковых квадратов.

Для решения этой части задачи, нам нужно переставить некоторые палочки так, чтобы получить две одинаковые пары квадратов. Обратите внимание, что это будет возможно только в случае, если у нас есть слева отрезок из нечетного количества палочек, и справа - симметричный к нему.

Один из возможных вариантов перестановки палочек будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
\text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & & & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} & \text{X} \\
\end{array}
\]

Где символ "X" обозначает счетную палочку, которую мы убрали.

Таким образом, мы получили две пары одинаковых квадратов, состоящих из 7 палочек каждая.

Данный рисунок соответствует результату перестановки 7 палочек так, чтобы образовались две пары одинаковых квадратов.