шар амплитудасы 0,1 м қамыр тереңдігімен жүреді. Алдын ала уақытта ол климакс күйінде болды. Шар Т/12 периодына дейінгі

Звёздочка

57

Шар с амплитудой 0,1 метра движется с гармоническим колебанием. В начальный момент времени он находился в крайней точке своего колебания, в точке максимального отклонения. Необходимо определить, через какое время шар вернется в начальное положение после прохождения T/12 периода колебания.

Для начала, давайте обратимся к основному уравнению гармонического колебания:

\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \varphi)\]

Где:
- \(x(t)\) - смещение от положения равновесия в момент времени \(t\)
- \(A\) - амплитуда колебаний
- \(\omega\) - угловая частота
- \(t\) - время
- \(\varphi\) - начальная фаза колебаний

Для данной задачи, мы знаем, что амплитуда \(A\) равна 0,1 метра, а период \(T\) равен 12 секундам. Мы хотим найти время, через которое шар вернется в начальное положение после прохождения \(\frac{T}{12}\) периода колебания.

Чтобы найти угловую частоту \(\omega\), мы можем использовать следующую формулу:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Подставив значение периода \(T = 12\) секунд, у нас получится:

\[\omega = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\]

Теперь мы можем записать основное уравнение гармонического колебания с учетом найденной угловой частоты:

\[x(t) = 0,1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot t + \varphi\right)\]

Для того, чтобы определить начальную фазу \(\varphi\), нам нужно знать положение шара в момент времени \(t = 0\). Мы знаем, что шар находился в крайней точке своего колебания в начальный момент времени, поэтому его положение равно амплитуде с отрицательным знаком:

\[x(0) = -0,1 = 0,1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 0 + \varphi\right)\]

Решая это уравнение, получим:

\[-0,1 = 0,1 \cdot \cos(\varphi)\]

\[\cos(\varphi) = -1\]

Известно, что \(\cos(\pi) = -1\), поэтому у нас есть:

\[\varphi = \pi\]

Теперь мы можем записать окончательное уравнение гармонического колебания шара:

\[x(t) = 0,1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot t + \pi\right)\]

Мы хотим найти время \(t\), через которое шар вернется в начальное положение после прохождения \(\frac{T}{12}\) периода колебания, то есть через \(\frac{12}{12} = 1\) секунду. Подставим это время в уравнение:

\[x(1) = 0,1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 1 + \pi\right)\]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[x(1) = 0,1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) \approx -0,0866 \, \text{метра}\]

Таким образом, шар вернется в начальное положение через 1 секунду после прохождения \(\frac{T}{12}\) периода колебания, и его смещение от положения равновесия будет примерно равно -0,0866 метра.