Скільки тепла має поглинути повітря масою 5 г, початкова температура якого становить 17°С, щоб його об єм збільшився

Барсик

29

Для решения данной задачи нам понадобятся значения плотности и удельной теплоемкости воздуха, а также формула для вычисления тепла. Давайте начнем с вычисления объема воздуха после его расширения вдвое.

Если образ мы представим прямоугольником размерами \(V_0\) (начальный объем) и \(2V_0\) (конечный объем), то изменение объема можно записать в виде формулы \(\Delta V = 2V_0 - V_0 = V_0\).

Так как задача говорит, что расширение происходит при постоянном давлении (изобарное расширение), то по формуле \(pV = nRT\) можно сделать вывод, что количество вещества воздуха остается постоянным. То есть \(n_0 = n_1\), где \(n_0\) - начальное количество вещества воздуха, \(n_1\) - конечное количество вещества воздуха.

Теперь, используя формулу идеального газа \(\frac{{m}}{n} = M\), где \(m\) - масса газа, \(n\) - количество вещества, \(M\) - молярная масса вещества, мы можем записать:

\[\frac{{m_0}}{n_0} = \frac{{m_1}}{n_1}.\]

Так как начальное количество вещества равно конечному (\(n_0 = n_1\)), то \(\frac{{m_0}}{n_0} = \frac{{m_1}}{n_0}\), а значит, масса газа остается неизменной: \(m_0 = m_1 = m\).

Таким образом, мы можем записать, что

\[\frac{{m_0 \cdot C \cdot \Delta T}}{n_0} = \frac{{m_0 \cdot C \cdot \Delta T}}{n_1},\]

где \(C\) - удельная теплоемкость воздуха, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Теперь мы можем перейти к вычислению изменения температуры. Поскольку задача говорит о том, что объем увеличивается вдвое при исходной температуре 17 °C, новый объем воздуха будет дважды больше, а именно \(2V_0 = 2 \cdot 5 = 10\) грамм.

Из формулы \(pV = nRT\) мы можем записать

\[\frac{{m_0}}{n_0} \cdot R \cdot T_0 = \frac{{m_1}}{n_1} \cdot R \cdot T_1,\]

где \(T_0\) - начальная температура, \(T_1\) - конечная температура, \(R\) - универсальная газовая постоянная.

Подставим известные значения: \(m_0 = m_1 = 5\) г, \(n_0 = n_1 = \frac{{5}}{{M}}\), \(T_0 = 17\) °C, \(T_1 = ?\), \(R = 8,314\) Дж/(моль·К) (значение универсальной газовой постоянной).

Получаем:

\[\frac{{5 \cdot 8,314 \cdot (17 + 273)}}{{\frac{{5}}{{M}}}} = \frac{{5 \cdot 8,314 \cdot T_1}}{{\frac{{5}}{{M}}}.\]

Рассчитаем это выражение для нахождения конечной температуры \(T_1\):

\[8,314 \cdot (17 + 273) = 8,314 \cdot T_1 \cdot M.\]

Упростим:

\[8,314 \cdot 290 = 8,314 \cdot T_1 \cdot M.\]

Разделим обе части на \(8,314 \cdot M\):

\[290 = T_1.\]

Итак, мы получили, что конечная температура равна 290 °C.

Теперь давайте посчитаем тепло, которое поглотит воздух массой 5 г при изменении температуры с 17 °C до 290 °C.

Для этого используем формулу тепла \(Q = m \cdot C \cdot \Delta T\), где \(Q\) - тепло, \(m\) - масса, \(C\) - удельная теплоемкость, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Подставляем известные значения: \(m = 5\) г, \(C\) - удельная теплоемкость воздуха, \(17\) °C до \(290\) °C (это изменение равно \( \Delta T = 290 - 17 = 273\) °C).

Окончательная формула для вычисления тепла будет выглядеть так:

\[Q = 5 \cdot C \cdot 273.\]

Осталось только узнать удельную теплоемкость воздуха \(C\). Если мы предположим, что это идеальный газ, то его удельная теплоемкость при постоянном объеме \(C_V\) равна приблизительно \(20,8\) Дж/(моль·К). Таким образом, для нашей массы воздуха \(5\) г, единица моли \(n\) будет равна \(\frac{{5}}{{M}}\), а удельная теплоемкость \(C\) равна \(C_V \cdot n\).

Подставляем значения:

\[C = 20,8 \cdot \frac{{5}}{{M}} \cdot n = 20,8 \cdot \frac{{5}}{{M}} \cdot \frac{{5}}{{M}}.\]

Упростим это выражение и подставим значение универсальной газовой постоянной \(R\):

\[C = \frac{{20,8 \cdot 5 \cdot 5}}{{M \cdot M}} = \frac{{520}}{{M^2}}.\]

Теперь можно вычислить тепло \(Q\):

\[Q = 5 \cdot \frac{{520}}{{M^2}} \cdot 273.\]

Точный ответ на данный вопрос зависит от значения молярной массы воздуха \(M\), но теперь у нас есть все необходимые формулы, чтобы вычислить его. Затем можно будет подставить это значение в выражение для \(Q\) и получить итоговый ответ.