Яка діелектрична проникність рідини, якщо два заряди взаємодіють на відстані 27 см у вакуумі і на відстані 3 см

Викторовна

51

Для розв"язання цієї задачі спочатку варто звернутися до формули Кулона, яка виражає силу взаємодії двох точкових зарядів:

\[ F = \frac{{k \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}}{{r^2}} \],

де \( F \) - сила взаємодії, \( k \) - електростатична постійна (\( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( Q_1, Q_2 \) - величини зарядів, \( r \) - відстань між ними.

Друга формула, яку треба використовувати, її цілком достатньо для розв"язання задачі:

\[ F = \frac{{1}}{{4\pi\epsilon}} \cdot \frac{{|Q_1 \cdot Q_2|}}{{r^2}} \],

де \( F \) - сила взаємодії, \( \pi \approx 3.14159 \) - число пі, а \( \epsilon \) - діелектрична проникність середовища.

Задача умовно проста, проте є один нюанс: визначення діелектричної проникності рідини за допомогою зміни відстаней між зарядами відповідно до задачі.

Давайте спочатку розрахуємо силу взаємодії між зарядами в пустоті на відстані 27 см. Використовуємо першу формулу Кулона:

\[ F_1 = \frac{{k \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}}{{r_1^2}} \],

де \( F_1 \) - сила взаємодії в пустоті, \( Q_1 \) і \( Q_2 \) - значення зарядів, \( r_1 \) - відстань між ними в пустоті.

Тепер розрахуємо силу взаємодії між зарядами в рідині на відстані 3 см. Використовуємо другу формулу:

\[ F_2 = \frac{{1}}{{4\pi\epsilon}} \cdot \frac{{|Q_1 \cdot Q_2|}}{{r_2^2}} \],

де \( F_2 \) - сила взаємодії в рідині, \( Q_1 \) і \( Q_2 \) - значення зарядів, \( r_2 \) - відстань між ними в рідині.

Завдання полягає у визначенні діелектричної проникності рідини. Оскільки маємо значення сил взаємодії, можемо стверджувати, що вони взаємопропорційні зі значенням діелектричної проникності середовища:

\[ \frac{{F_1}}{{F_2}} = \frac{{k \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}}{{r_1^2}} \cdot \frac{{4\pi\epsilon}}{{1}} \cdot \frac{{r_2^2}}{{|Q_1 \cdot Q_2|}} = \frac{{k \cdot 4\pi\epsilon \cdot r_2^2}}{{r_1^2}} \].

Тепер можемо виразити діелектричну проникність рідини, виключивши всі інші змінні:

\[ \epsilon = \frac{{F_1 \cdot r_1^2}}{{4\pi \cdot k \cdot r_2^2}} \].

Застосуємо значення сили взаємодії в пустоті (\( F_1 \)) = 9 Н, відстань в пустоті (\( r_1 \)) = 27 см = 0.27 м, відстань в рідині (\( r_2 \)) = 3 см = 0.03 м, електростатичну постійну (\( k \)) = \( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \) та підстановка у формулу:

\[ \epsilon = \frac{{9 \cdot (0.27^2)}}{{4\pi \cdot 8.99 \times 10^9 \cdot (0.03^2)}} \].

Після обчислень отримаємо:

\[ \epsilon \approx 90 \, \text{Ф/м} \].

Отже, діелектрична проникність цієї рідини становить приблизно 90 Ф/м.