Сколько баллов вы получите за полное решение задачи по нахождению точки максимума функции y = 70 + 30x - x^3?

Ярд_4810

44

Хорошо, давайте решим эту задачу по нахождению точки максимума функции $y=70+30x-x^3$. Чтобы найти точку максимума функции, нужно сперва найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции $y=70+30x-x^3$. Чтобы найти производную, возьмем производную каждого отдельного слагаемого.

Производная постоянного слагаемого 70 равна 0, так как производная постоянной константы равна нулю.

Производная слагаемого $30x$ равна 30. Так как $x$ является переменной, при его дифференцировании получаем 1, а коэффициент 30 остается без изменений.

Производная слагаемого $-x^3$ равна $-3x^2$. Так как $x$ является переменной, при дифференцировании получаем $2x$, а коэффициент $-3$ остается без изменений.

Теперь складываем все слагаемые: производная функции $y=70+30x-x^3$ равна $30-3x^2$.

Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение для нахождения $x$.

$30-3x^2=0$

Выразим $x^2$: $-3x^2=-30$

Домножим обе части уравнения на $-1$: $3x^2=30$

Разделим обе части уравнения на $3$: $x^2=10$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: $x=\pm \sqrt{10}$.

Шаг 3: Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ подставив его в исходную функцию $y=70+30x-x^3$.

Подставим $x=\sqrt{10}$: $y=70+30\sqrt{10}-(\sqrt{10}{)}^3$

Упростим: $y=70+30\sqrt{10}-10$

Получим: $y=60+30\sqrt{10}$

Подставим $x=-\sqrt{10}$: $y=70+30(-\sqrt{10})-(-\sqrt{10}{)}^3$

Упростим: $y=70-30\sqrt{10}+10$

Получим: $y=80-30\sqrt{10}$

Таким образом, точки максимума функции $y=70+30x-x^3$ имеют координаты $(\sqrt{10},60+30\sqrt{10})$ и $(-\sqrt{10},80-30\sqrt{10})$.

Я надеюсь, что эта пошаговая информация поможет вам лучше понять задачу и получить максимальное количество баллов за ее решение.