Сколько баллов вы получите за полное решение задачи по нахождению точки максимума функции y = 70 + 30x - x^3?

Ярд_4810

44

Хорошо, давайте решим эту задачу по нахождению точки максимума функции \(y = 70 + 30x - x^3\). Чтобы найти точку максимума функции, нужно сперва найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 70 + 30x - x^3\). Чтобы найти производную, возьмем производную каждого отдельного слагаемого.

Производная постоянного слагаемого 70 равна 0, так как производная постоянной константы равна нулю.

Производная слагаемого \(30x\) равна 30. Так как \(x\) является переменной, при его дифференцировании получаем 1, а коэффициент 30 остается без изменений.

Производная слагаемого \(-x^3\) равна \(-3x^2\). Так как \(x\) является переменной, при дифференцировании получаем \(2x\), а коэффициент \(-3\) остается без изменений.

Теперь складываем все слагаемые: производная функции \(y = 70 + 30x - x^3\) равна \(30 - 3x^2\).

Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение для нахождения \(x\).

\(30 - 3x^2 = 0\)

Выразим \(x^2\): \(- 3x^2 = -30\)

Домножим обе части уравнения на \(-1\): \(3x^2 = 30\)

Разделим обе части уравнения на \(3\): \(x^2 = 10\)

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: \(x = \pm \sqrt{10}\).

Шаг 3: Для каждого значения \(x\) найдем соответствующее значение \(y\) подставив его в исходную функцию \(y = 70 + 30x - x^3\).

Подставим \(x = \sqrt{10}\): \(y = 70 + 30\sqrt{10} - (\sqrt{10})^3\)

Упростим: \(y = 70 + 30\sqrt{10} - 10\)

Получим: \(y = 60 + 30\sqrt{10}\)

Подставим \(x = -\sqrt{10}\): \(y = 70 + 30(-\sqrt{10}) - (-\sqrt{10})^3\)

Упростим: \(y = 70 - 30\sqrt{10} + 10\)

Получим: \(y = 80 - 30\sqrt{10}\)

Таким образом, точки максимума функции \(y = 70 + 30x - x^3\) имеют координаты \(\left(\sqrt{10}, 60 + 30\sqrt{10}\right)\) и \(\left(-\sqrt{10}, 80 - 30\sqrt{10}\right)\).

Я надеюсь, что эта пошаговая информация поможет вам лучше понять задачу и получить максимальное количество баллов за ее решение.