Сколько цепочек вывода с n открывающимися скобками можно получить для данной грамматики g с правилами s → ( s ) s

Barbos_6714

61

Данная задача может быть решена с помощью метода рекурсивного подсчёта количества цепочек вывода для данной грамматики. Для начала, давайте опишем правила, заданные в грамматике \(g\):

\(s \rightarrow ( s ) s | \varepsilon\)

Итак, мы можем сгенерировать цепочки вывода, используя данные правила. Первым делом, рассмотрим случай, когда \(n = 1\) (подразумевается, что \(n\) - количество открывающихся скобок).

a) \(n = 1\):

У нас есть только одна открывающаяся скобка. Один из возможных выводов будет следующим:

\(s \rightarrow ( s ) s \rightarrow ( \varepsilon ) s \rightarrow ( \varepsilon ) \varepsilon\)

Таким образом, для \(n = 1\) существует одна возможная цепочка вывода.

b) \(n = 2\):

Теперь у нас две открывающиеся скобки. У нас есть несколько вариантов вывода. Ниже приведено одно из возможных решений:

\(s \rightarrow ( s ) s \rightarrow ( ( s ) s ) s \rightarrow ( ( \varepsilon ) s ) s \rightarrow ( ( \varepsilon ) ( s ) s ) s \rightarrow ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) s ) s \rightarrow ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) s \rightarrow ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon\)

Таким образом, для \(n = 2\) существует одна возможная цепочка вывода.

c) \(n = 3\):

Теперь у нас три открывающиеся скобки. Мы можем рекурсивно применить правила грамматики, чтобы получить несколько вариантов вывода. Ниже приведен один из возможных вариантов:

\(s \rightarrow ( s ) s \rightarrow ( ( s ) s ) s \rightarrow ( ( ( s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( s ) s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( s ) s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( s ) s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) s ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon ) ( s ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon ) ( \varepsilon ) s ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) s \rightarrow ( ( ( ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon ) ( \varepsilon ) ) \varepsilon\)

Таким образом, для \(n = 3\) существует одна возможная цепочка вывода.

Таким образом, для всех трех значений \(n\) (1, 2, 3) существует только одна возможная цепочка вывода, соответствующая данным правилам грамматики \(g\).