Сколько человек участвовало в конкурсе, если некоторые из них пели песни, а другие танцевали? Известно

Тарас

62

Данная задача предлагает нам определить количество участников конкурса, исходя из информации о количестве участников, певцов и танцоров, а также о числе тех, кто одновременно занимался и пением, и танцами.

Для решения данной задачи воспользуемся понятием пересечения множеств. Представим множество участников конкурса как U, множество певцов как S, множество танцоров как D, а множество тех, кто одновременно пел и танцевал, обозначим как I.

Из условия задачи нам дано, что доля участников, певцов и танцоров составляет 5/7, 8/9 и 76 человек соответственно.

Мы знаем, что количество элементов в пересечении двух множеств равно сумме количества элементов каждого множества, минус количество элементов в их объединении. Формально это записывается следующим образом:
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|\]

Применительно к нашей задаче, мы можем записать:
\[|S \cap D| = |S| + |D| - |S \cup D|\]

Дано, что 76 человек одновременно пели и танцевали, поэтому:
\[|S \cap D| = 76\]

Из условия задачи также известно, что доля певцов составляет 5/7 от общего числа участников, поэтому:
\[|S| = \frac{5}{7} \cdot |U|\]

Аналогично, доля танцоров составляет 8/9 от общего числа участников:
\[|D| = \frac{8}{9} \cdot |U|\]

Теперь вернёмся к формуле пересечения множеств и подставим выражения для |S| и |D|:
\[76 = \left(\frac{5}{7} \cdot |U|\right) + \left(\frac{8}{9} \cdot |U|\right) - |S \cup D|\]

Чтобы найти число участников, нам нужно определить |S \cup D|. Для этого воспользуемся понятием объединения множеств. Объединение множеств - это сумма элементов каждого множества, минус количество элементов в их пересечении.
\[|S \cup D| = |S| + |D| - |S \cap D|\]

Подставим значения |S|, |D| и |S \cap D| в эту формулу:
\[|S \cup D| = \left(\frac{5}{7} \cdot |U|\right) + \left(\frac{8}{9} \cdot |U|\right) - 76\]

Итак, получилась система уравнений:
\[\begin{cases}
\frac{5}{7} \cdot |U| + \frac{8}{9} \cdot |U| - |S \cup D| = 76 \\
|S \cup D| = \left(\frac{5}{7} \cdot |U|\right) + \left(\frac{8}{9} \cdot |U|\right) - 76
\end{cases}\]

Решим данную систему уравнений путем замены переменной.

Обозначим \(x = |U|\). Тогда первое уравнение примет вид:
\[\frac{5}{7}x + \frac{8}{9}x - |S \cup D| = 76\]

Сократим коэффициенты:
\[\frac{45}{63}x + \frac{56}{63}x - |S \cup D| = 76\]

Найдем общий знаменатель у дробей и объединим их:
\[\frac{101}{63}x - |S \cup D| = 76\]

Теперь выразим |S \cup D|:
\[|S \cup D| = \frac{101}{63}x - 76\]

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[\frac{101}{63}x - 76 = \left(\frac{5}{7}x\right) + \left(\frac{8}{9}x\right) - 76\]

Сократим коэффициенты:
\[\frac{101}{63}x - \frac{63}{63}x = \frac{45}{63}x + \frac{56}{63}x - \frac{76}{1}\]

Упростим:
\[\frac{38}{63}x = 0\]

Так как произведение двух чисел равно нулю только в случае, когда хотя бы одно из них равно нулю, то получаем, что \(x = 0\).

Однако в этой задаче ноль не может быть количеством участников конкурса, поэтому мы получаем противоречие. Вероятнее всего, где-то была допущена ошибка. Проверьте условие задачи и предоставленные данные еще раз, чтобы убедиться, что все верно.

Пожалуйста, уточните условие или предоставьте дополнительную информацию, чтобы мы могли решить задачу точнее.