а) Покажите на диаграмме Эйлера множества А (натуральных чисел, кратных 2), В (натуральных чисел, кратных 3

  • 61
а) Покажите на диаграмме Эйлера множества А (натуральных чисел, кратных 2), В (натуральных чисел, кратных 3) и С (натуральных чисел, кратных 5), отметив штриховкой область, представляющую их пересечение.
б) Сформулируйте характеристическое свойство элементов этого множества и укажите три элемента, удовлетворяющих этому свойству.
в) Правда ли, что А ∩ В ∩ С = (А ∩ В) ∩ С?
Снегурочка
4
Давайте рассмотрим задачу по порядку.

а) Для начала построим диаграмму Эйлера для множеств А, В и С. Множество А представляет собой натуральные числа, кратные 2, множество В - натуральные числа, кратные 3, и множество С - натуральные числа, кратные 5.

\[
\begin{array}{c|c|c}
A & B & C \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь обозначим пересечение множеств А, В и С, штриховкой на диаграмме:

\[
\begin{array}{c|c|c}
A & B & C \\
\hline
& & \\
\end{array}
\]

Таким образом, область, представляющая пересечение множеств А, В и С, отмечена на диаграмме.

б) Характеристическое свойство элементов этого множества можно сформулировать следующим образом: элементы принадлежат множеству, если они являются натуральными числами и одновременно делятся на 2, 3 и 5.

Теперь укажем три элемента, удовлетворяющих этому свойству. Так как мы ищем числа, которые делятся на 2, 3 и 5 одновременно, то нужно найти их наименьшее общее кратное. НОК(2, 3, 5) = 30.

Таким образом, три элемента, удовлетворяющих данному свойству, это числа 30, 60 и 90.

в) Утверждается, что \( A \cap B \cap C = (A \cap B) \cup (A \cap C) \). Докажем это утверждение.

Для начала, нам нужно вычислить пересечение множеств А и В, а также пересечение множеств А и С.

Множество А и В состоит из чисел, кратных одновременно 2 и 3. То есть, это числа, кратные 6.

Множество А и С состоит из чисел, кратных одновременно 2 и 5. То есть, это числа, кратные 10.

Теперь вычислим объединение множеств А и В, а также множеств А и С.

Объединение множеств А и В состоит из чисел, которые либо делятся на 2, либо делятся на 3. Натуральные числа, делящиеся на 2 или 3 - это числа, которые делятся на 6. Таким образом, \( A \cap B = A \cap C = \{x | x \, \text{делится на} \, 6\} \).

Очевидно, что пересечение множеств А и В равно пересечению множеств А и С, поэтому можно сделать вывод, что \( A \cap B \cap C = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) - это верно.

Надеюсь, этот ответ подробно и наглядно объяснил задачу и ее решение! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.