Сколько чисел с 8-ю различными цифрами в десятичной записи, делятся на 5 и так, чтобы никакие две четные и две нечетные

Misticheskiy_Zhrec

5

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение чисел с 8-ю различными цифрами в десятичной записи.
Чтобы составить такие числа, нам нужно выбрать 8 различных цифр из десятичной системы (0-9). Мы можем использовать любые комбинации этих цифр, чтобы получить наше число. Чтобы найти число возможных комбинаций, мы можем воспользоваться перестановками. Формула для перестановок выглядит так:

\[P(n, r) = \frac{{n!}}{{(n - r)!}}\]

Где n - количество элементов, а r - количество выбранных элементов. В нашем случае, у нас n = 10 (так как у нас есть 10 возможных цифр) и r = 8 (так как мы выбираем 8 из них). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[P(10, 8) = \frac{{10!}}{{(10 - 8)!}} = \frac{{10!}}{{2!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8!}}{{2!}} = 90\]

Таким образом, у нас есть 90 чисел с 8-ю различными цифрами в десятичной записи.

Шаг 2: Определение чисел, делящихся на 5.
Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Из 8-ми различных цифр мы можем выбрать только одну цифру в качестве последней (0 или 5), остальные 7 цифр могут быть выбраны любым способом. Таким образом, у нас есть 2 варианта для последней цифры и \(P(9, 7)\) вариантов для остальных 7 цифр. Подставляя значения в формулу для перестановок, получаем:

\[P(9, 7) = \frac{{9!}}{{(9 - 7)!}} = \frac{{9!}}{{2!}} = \frac{{9 \cdot 8!}}{{2!}} = 36\]

Таким образом, у нас есть 2 * 36 = 72 числа с 8-ю различными цифрами в десятичной записи, делящихся на 5.

Шаг 3: Определение чисел, в которых никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом.
Разделим наши 8 цифр на четные и нечетные:
Четные: 0, 2, 4, 6, 8
Нечетные: 1, 3, 5, 7, 9

Теперь посмотрим на различные комбинации, в которых никакие две четные и две нечетные цифры не стоят рядом:

1. Если первая цифра четная, то она может быть выбрана из общих четных цифр (5 вариантов). Вторая цифра должна быть нечетной и может быть выбрана из нечетных цифр, и так далее - то есть у нас есть 5 вариантов для первой цифры, 5 вариантов для второй цифры и т. д. Всего получаем \(5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 1440\) комбинаций.

2. Если первая цифра нечетная, то она может быть выбрана из общих нечетных цифр (5 вариантов). Вторая цифра должна быть четной и может быть выбрана из четных цифр, и так далее - то есть у нас есть 5 вариантов для первой цифры, 5 вариантов для второй цифры и т. д. Всего получаем \(5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 1440\) комбинаций.

Таким образом, у нас есть \(1440 + 1440 = 2 \cdot 1440 = 2880\) чисел с 8-ю различными цифрами в десятичной записи, делящихся на 5 и так, чтобы никакие две четные и две нечетные цифры не стояли рядом.

Надеюсь, это помогло! Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте знать.