Сколько цифр 0, 1, 2 и 3 содержится в числе, полученном при выражении 4^4*5^69–70 в пятеричной системе счисления?

Sonya

52

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить значение выражения \(4^4 \cdot 5^{69} - 70\) в пятеричной системе счисления. Затем мы определим, сколько цифр 0, 1, 2 и 3 содержится в полученном числе.

Шаг 1: Вычисление значения выражения
Давайте начнем с вычисления значения \(4^4 \cdot 5^{69}\). Сначала возводим 4 в степень 4, что равно 256. Затем возводим 5 в степень 69. Так как мы работаем в пятеричной системе счисления, нам нужно записать 5 в пятеричном виде.

5 в пятеричной системе равно 10. Теперь возводим 10 в степень 69 с использованием пятеричных операций:

\[10^{69} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot ... \cdot 10\]

Мы перемножаем 10 само на себя 69 раз. Теперь, чтобы перемножить числа, записанные в пятеричной системе, мы должны умножить цифры списочно, начиная с правого конца:

\[
\begin{align*}
&10 \cdot 10 = 40 \quad (0 \cdot 0 = 0, 0 \cdot 1 = 0, 1 \cdot 0 = 0, 1 \cdot 1 = 1) \\
&40 \cdot 10 = 200 \quad (0 \cdot 0 = 0, 0 \cdot 4 = 0, 0 \cdot 0 = 0, 4 \cdot 1 = 4) \\
&200 \cdot 10 = 1000 \quad (2 \cdot 0 = 0, 2 \cdot 4 = 13 (перемещаем 3 в следующий разряд), 0 \cdot 0 = 0, 2 \cdot 1 = 2) \\
&1000 \cdot 10 = 5000 \quad (0 \cdot 0 = 0, 0 \cdot 4 = 0, 0 \cdot 0 = 0, 4 \cdot 1 = 4) \\
&5000 \cdot 10 = 25000 \quad (2 \cdot 0 = 0, 2 \cdot 2 = 4, 5 \cdot 0 = 0, 2 \cdot 1 = 2) \\
& \vdots \\
& 10^{69} = 203124212 \ldots (продолжаем дальше)
\end{align*}
\]

Мы продолжаем этот процесс, пока не достигнем степени 69.

Теперь, чтобы вычислить значение \(4^4 \cdot 5^{69} - 70\), мы вычитаем 70 из полученного числа:

\[
\begin{align*}
203124212 \ldots - 70 &= 203124212 \ldots - (5 \cdot 13 + 0) \\
&= 203124212 \ldots - (50 \cdot 243 + 0) \\
&= 203124212 \ldots - 12150 - 0 \\
&= 203124212 \ldots - 12150 \\
\end{align*}
\]

Шаг 2: Определение количества цифр 0, 1, 2 и 3
Теперь давайте посмотрим на полученное число \(203124212 \ldots - 12150\) в пятеричной системе. Мы будем считать количество цифр 0, 1, 2 и 3 в этом числе.

Мы видим, что число состоит только из цифр 0, 1, 2 и 3. Чтобы узнать, сколько раз каждая цифра встречается, мы будем подсчитывать количество каждой цифры в полученном числе. Перечислим эти цифры и их количество:

- Цифра 0 встречается ...
- Цифра 1 встречается ...
- Цифра 2 встречается ...
- Цифра 3 встречается ...

К сожалению, без реального значения числа я не могу предоставить точные значения для каждой цифры. Но с помощью этого описания вы сможете вычислить количество каждой цифры, выполнив описанные выше шаги.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять данную задачу и ее решение. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!