Сколько цифр 0, 1 и 2 содержит запись числа 4^3 * 3^19 в троичной системе счисления? Объясните ваш ответ подробно

Магический_Тролль

34

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, давайте найдем значение \(4^3 * 3^{19}\). Чтобы это сделать, мы возведем 4 в третью степень и умножим на 3 в 19-ю степень.

\[4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\]

\[3^{19} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3\]
где 3 повторяется 19 раз.

После вычислений, получим:

\[4^3 * 3^{19} = 64 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3)\]

2. Теперь давайте вычислим значение \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3\). Поскольку 3 повторяется 19 раз, у нас есть \(3^{19}\):

\(3^{19} = 1162261467\)

3. Подставим это значение обратно в первое уравнение:

\[4^3 * 3^{19} = 64 \cdot 1162261467\]

4. Найдем произведение \(64 \cdot 1162261467\) для получения окончательного ответа:

\[4^3 * 3^{19} = 74300881968\]

5. Теперь ответим на вопрос, сколько цифр 0, 1 и 2 содержит данное число в троичной системе счисления. Чтобы это сделать, разложим число 74300881968 на его троичные составляющие.

\[74300881968 = 2 \cdot (3^7)^2 \cdot (3^2)^6\]

Мы разложили число на две составляющие: \(2\) и \((3^7)^2 \cdot (3^2)^6\).

Примечательно, что \(2\) содержит только одну цифру 2, которая находится в троичной системе.

Найдем значение \((3^7)^2 \cdot (3^2)^6\):

\[(3^7)^2 \cdot (3^2)^6 = (2187^2) \cdot (9^6)\]

После выполнения вычислений получим:

\[(3^7)^2 \cdot (3^2)^6 = 268435456 \cdot 531441\]

\[(3^7)^2 \cdot (3^2)^6 = 14230705280896\]

Таким образом, число 74300881968 содержит 1 цифру 2 и 12 цифр 1 в троичной системе счисления.

В итоге, запись числа \(4^3 \cdot 3^{19}\) в троичной системе содержит 1 цифру 2 и 12 цифр 1.