Сколько людей, присутствующих в зале, имеют одинаковые дни рождения? Укажите примерное количество и объясните свои

Светлячок_В_Лесу

30

Чтобы решить эту задачу, будем использовать вероятностный подход.

Предположим, что в зале находится n человек. Мы хотим найти вероятность того, что у двух людей в зале будет одинаковый день рождения. Для простоты будем считать, что в году 365 дней и вероятность рождения в каждый день равномерно распределена.

Давайте начнем с простого случая, где в зале всего два человека. Для первого человека день рождения может быть любым из 365 дней в году. Вероятность того, что у второго человека будет такой же день рождения, равна 1/365, так как у него должен быть конкретный день из оставшихся 364 дней при условии, что у первого уже выбран какой-то конкретный день.

Теперь рассмотрим случай с тремя людьми. У первого человека может быть любой из 365 дней рождения, у второго - 364 (так как у него не может быть такого же дня рождения, что и у первого), а у третьего - также 364 дня. То есть вероятность того, что у двух людей из трех будет одинаковый день рождения, равна \(1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365}\).

Обобщим эти рассуждения на случай n человек: вероятность того, что у двух людей из n будет одинаковый день рождения, равна \(1 \times \frac{1}{365} \times \ldots \times \frac{1}{365}\), где умножение проводится n - 1 раз, так как первый человек может выбрать любой день из 365.

Теперь мы можем приступить к вычислениям. Пусть n = 30 (то есть в зале находится 30 человек). Тогда вероятность того, что у двух людей из них будет одинаковый день рождения, равна:

\[P = 1 \times \frac{1}{365} \times \ldots \times \frac{1}{365} = \left(\frac{1}{365}\right)^{29}\]

Вычислим это значение:

\[P \approx 0.00076\]

Таким образом, приближенное количество людей в зале, у которых одинаковый день рождения, составляет около 0.00076 или около 0.076%. Это означает, что в среднем у одного из людей в зале будет такой же день рождения, как и у кого-то другого.

Однако стоит учесть, что это только приближение и вероятность может отличаться в зависимости от количества людей. Например, при n = 23 вероятность превышает 50%, а при n = 57 она уже превышает 99%. Это интересное явление называется "парадоксом дней рождения" и оно обусловлено принципом Дирихле в комбинаторике.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как можно подойти к решению задачи о количестве людей с одинаковыми днями рождения в зале.