Сколько мандаринов содержится в пакете, если при раздаче по 6 мандаринов каждому ребенку остается недостаточно
Сколько мандаринов содержится в пакете, если при раздаче по 6 мандаринов каждому ребенку остается недостаточно 3 мандарина, а если раздавать по 5 мандаринов, то в пакете остается еще 19 мандаринов?
Хрусталь 23
Добро пожаловать! Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было понятно. Пусть \(x\) - количество мандаринов в пакете.По условию задачи, если мы раздаем по 6 мандаринов каждому ребенку, остается недостаточно 3 мандарина. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[x \equiv 3 \pmod{6}\]
То есть, количество мандаринов \(x\) даёт остаток 3 при делении на 6.
Также, если мы раздаем по 5 мандаринов каждому ребенку, остается еще 19 мандаринов. Мы можем записать это в виде второго уравнения:
\[x \equiv 19 \pmod{5}\]
Теперь нам нужно решить эту систему уравнений.
Обобщенное решение системы уравнений может быть найдено с помощью Китайской теоремы об остатках. Однако, в данном случае, мы можем решить эту задачу особым путем.
Мы заметим, что 5 и 6 являются взаимно простыми числами, то есть не имеют общих делителей, кроме 1. Поэтому, для нахождения общего решения, мы можем взять наименьшее положительное число, удовлетворяющее обоим уравнениям.
Выпишем ряд остатков при делении чисел на 6 и 5:
\[
\begin{align*}
x &\equiv 3 \pmod{6} \\
x &\equiv 19 \pmod{5}
\end{align*}
\]
Остатки при делении на 6: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, ...
Остатки при делении на 5: 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, ...
Мы видим, что первое число, которое встречается в обоих списках, это 39. Значит, наше общее решение будет выглядеть так:
\[x \equiv 39 \pmod{30}\]
Теперь мы можем найти количество мандаринов в пакете, приведя \(x\) к наименьшему положительному значению, которое больше или равно 0 и меньше 30. В данной задаче это значение равно 39.
Поэтому, в пакете содержится 39 мандаринов.
Надеюсь, ответ был понятен! Я всегда готов помочь вам.