Сколько минимальное количество проб придется провести, чтобы определить, какой ключ открывает каждый чемодан?

Letuchiy_Fotograf

57

Хорошо, чтобы определить, какой ключ открывает каждый чемодан, мы можем использовать метод двоичного деления. Давайте представим, что у нас есть \(n\) ключей и \(m\) чемоданов.

1. Сначала возьмем один ключ и попробуем его на половине чемоданов. Если ключ сработает, то мы узнаем, что этот ключ подходит для половины чемоданов. Если ключ не сработает, то мы узнаем, что этот ключ не подходит ни для одного из чемоданов.

2. Далее мы возьмем еще один ключ и попробуем его на оставшейся половине чемоданов. Если этот ключ открывает один из чемоданов, то мы узнаем, что он подходит для него. Если ключ не подходит ни для одного из чемоданов, значит, он не открывает чемоданы, которые уже проверялись.

3. Повторяем шаг 2, пока для всех чемоданов не будет найден подходящий ключ. Когда мы проверяем каждый чемодан, мы получаем список ключей, которые подходят для каждого из них.

Теперь определим минимальное количество шагов, необходимых для определения каждого ключа:

На первом шаге мы проверяем половину чемоданов, т.е. \(\frac{m}{2}\). Если ключ открывает все чемоданы, то нам понадобится только 1 шаг.

На втором шаге мы проверяем оставшуюся половину чемоданов, т.е. \(\frac{m}{2^2}\). Если ключ открывает каждый из этих чемоданов, то уже 2 шага.

Выполняя аналогичные рассуждения, мы увидим, что количество шагов, необходимых для определения каждого ключа, будет равно количеству бит в двоичной записи числа чемоданов \(m\).

Поэтому минимальное количество проб, которое нам придется провести, чтобы определить, какой ключ открывает каждый чемодан, равно логарифму по основанию 2 от \(m\). Можно записать это как \(\log_2 m\).

Например, если у нас есть 8 чемоданов, то минимальное количество проб будет равно \(\log_2 8 = 3\).

Надеюсь, эта пошаговая информация помогла вам понять, как определить ключи для каждого чемодана.