Сколько мячей было в коробке, если внутри были желтые и голубые мячи, а из них 15 - желтые, и получение информации

Sherlok_2369

51

Для решения этой задачи нам необходимо использовать информационную энтропию и формулу Шеннона. Информационная энтропия определяет меру неопределенности в случайном событии.

В данной задаче у нас есть два типа мячей: желтые и голубые. Зная, что 15 мячей - желтые, мы можем сказать, что количество голубых мячей равно общему количеству мячей минус количество желтых мячей. Обозначим количество голубых мячей за \(x\).

Теперь, чтобы рассчитать информацию, содержащуюся в извлечении голубого мяча, мы можем использовать формулу Шеннона:

\[H = -\sum_{i} p_i \log_2(p_i)\]

где \(H\) - информационная энтропия, \(p_i\) - вероятность появления события \(i\).

В данном случае, голубой мяч был извлечен, поэтому его вероятность равна количеству голубых мячей деленному на общее количество мячей.

Таким образом, вероятность появления голубого мяча равна \(\frac{x}{15+x}\).

Теперь, нам дано, что получение информации о том, что был извлечен голубой мяч, содержит 2 бита информации. В битах информации можно измерить информацию, используя следующую формулу:

\[I = \log_2(\frac{1}{p_i})\]

где \(I\) - информация, содержащаяся в событии \(i\), \(p_i\) - вероятность появления события \(i\).

В данном случае, информация в получении голубого мяча равна 2 бита. Подставляя это значение в формулу, получаем:

\[2 = \log_2(\frac{1}{\frac{x}{15+x}})\]

Сокращаем выражение:

\[2 = \log_2(\frac{15+x}{x})\]

Далее, мы можем переписать это уравнение в экспоненциальной форме:

\[2^2 = \frac{15+x}{x}\]

Решаем уравнение:

\[4x = 15+x\]

\[3x = 15\]

\[x = 5\]

Итак, количество голубых мячей равно 5. Чтобы найти общее количество мячей в коробке, мы можем сложить количество желтых и голубых мячей:

\[15 + 5 = 20\]

Таким образом, в коробке было 20 мячей.

Ответ: 2. 20