Сколько N существует, превышающих 300, таких что среди чисел 4N-300, N+45 и 2N ровно два являются четырёхзначными?

Ангелина

6

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Для начала рассмотрим числа \(4N-300\), \(N+45\) и \(2N\). Нам нужно найти такие значения \(N\), при которых ровно два из этих чисел являются четырёхзначными.

2. Рассмотрим первое число, \(4N-300\). Чтобы оно было четырехзначным, необходимо выполнение следующего условия: \(4N-300\) должно быть больше или равно 1000 и меньше или равно 9999. Мы можем решить это неравенство, добавив 300 к обоим концам и разделив на 4:
\[1000 \leq 4N - 300 \leq 9999\]
\[1300 \leq 4N \leq 10299\]
\[325 \leq N \leq 2574.75\]
Однако, так как \(N\) должно быть целым числом, округлим вниз до ближайшего целого и получим: \(N \geq 325\) и \(N \leq 2574\).

3. Теперь рассмотрим второе число, \(N + 45\). Чтобы оно было четырехзначным, необходимо выполнение следующего условия: \(N + 45\) должно быть больше или равно 1000 и меньше или равно 9999. Из этого получаем следующее неравенство:
\[1000 \leq N + 45 \leq 9999\]
\[955 \leq N \leq 9954\]
Здесь нет ограничений на \(N\) в виде дополнительных условий.

4. Теперь рассмотрим третье число, \(2N\). Чтобы оно было четырехзначным, необходимо выполнение следующего условия: \(2N\) должно быть больше или равно 1000 и меньше или равно 9999. Из этого получаем следующее неравенство:
\[1000 \leq 2N \leq 9999\]
\[500 \leq N \leq 4999\]

5. Теперь объединим все условия из пунктов 2, 3 и 4. Чтобы удовлетворять всем этим условиям одновременно, значение \(N\) должно быть больше или равно 955 (чтобы \(N + 45\) было четырехзначным) и меньше или равно 2574 (чтобы \(4N-300\) было четырехзначным). Кроме того, \(N\) должно быть больше или равно 500 (чтобы \(2N\) было четырехзначным).

6. Найдем количество значений \(N\), которые удовлетворяют всем этим условиям. Найдем разность между максимальным и минимальным значением \(N\):
\[2574 - 955 + 1 = 1620\]
Получили, что существует 1620 значений \(N\), которые удовлетворяют условиям задачи и превышают 300.

Итак, ответ на задачу составляет 1620 различных значений \(N\), которые удовлетворяют условию задачи и превышают 300.