Сколько нулей имеется в значащих разрядах двоичного представления числа 8^560 – 2^234?

Золотой_Медведь

9

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить значение \(8^{560} - 2^{234}\) и определить количество нулей в его значащих разрядах в двоичном представлении.

Давайте начнем с вычисления \(8^{560}\). Для этого мы можем заметить, что \(8 = 2^3\), поэтому \(8^n = (2^3)^n = 2^{3n}\). Таким образом, \(8^{560} = 2^{3 \cdot 560} = 2^{1680}\).

Теперь рассмотрим второе слагаемое \(2^{234}\). У нас уже есть степень двойки, поэтому нам не нужно делать дополнительные вычисления.

Теперь можем вычислить разность \(8^{560} - 2^{234}\):

\[8^{560} - 2^{234} = 2^{1680} - 2^{234}\]

Чтобы произвести вычитание, нам нужно убедиться, что основа степени одинаковая. Мы видим, что основа степени равна 2, поэтому мы можем вынести её за скобки:

\[2^{1680} - 2^{234} = 2^{234} \cdot (2^{1446} - 1)\]

Теперь мы должны только вычислить значение \(2^{1446} - 1\).

Для этого мы можем использовать двоичное представление числа 1 как \((2^0)_{10} = 1_2\). Затем мы можем применить правило двоичного возведения в степень, которое гласит, что двоичное число в степени является двоичным числом, полученным путем соединения двоичных чисел меньших степеней.

\[2^{10} = 1024 = 10000000000_2\]
\[2^9 = 512 = 100000000_2\]
\[2^8 = 256 = 10000000_2\]
\[2^7 = 128 = 1000000_2\]
\[2^6 = 64 = 100000_2\]
\[2^5 = 32 = 10000_2\]
\[2^4 = 16 = 1000_2\]
\[2^3 = 8 = 100_2\]
\[2^2 = 4 = 10_2\]
\[2^1 = 2 = 1_2\]

Теперь мы можем вычислить значение \(2^{1446} - 1\):

\[2^{1446} - 1 = 100000000000000_2 - 1_2 = 11111111111111_2\]

Теперь у нас есть значение \(2^{234} \cdot (2^{1446} - 1)\):

\[2^{234} \cdot (2^{1446} - 1) = 11111111111111_2 \cdot 10^{234}\]

Таким образом, в двоичном представлении числа \(8^{560} - 2^{234}\) есть 234 значащих нуля.

Надеюсь, эта пошаговая процедура была полезной для вашего понимания решения задачи!