Сколько плиток осталось после постройки гаража, если для квадратной площадки не хватило плиток, уложенных по 8 в ряд

Zhuzha

40

Решение:

Пусть общее количество плиток, необходимое для покрытия квадратной площадки, равно \(x\) (где \(x\) - количество плиток).

1. При укладке по 8 в ряд, плиток не хватило, это значит, что количество плиток не кратно 8.
2. При укладке по 6 в ряд, остался один неполный ряд, следовательно, общее количество плиток - 1 должно быть кратно 6.
3. При укладке по 7 в ряд, тоже остался неполный ряд, где на 4 плиты меньше, чем в неполном ряду при укладке. То есть, если добавить 4 плиты к общему количеству плиток, оно должно стать кратным 7.

Из этих условий можем составить уравнения:

1) \(x \neq 8k\) для некоторого целого числа \(k\)

2) \(x - 1 = 6m\) для некоторого целого числа \(m\)

3) \(x + 4 = 7n\) для некоторого целого числа \(n\)

Решая систему уравнений, найдем значение \(x\) - общее количество плиток.

\[x \equiv 1 (mod 6)\]

\[x \equiv 3 (mod 7)\]

Из этой системы получаем, что \(x \equiv 37 (mod 42)\). Таким образом, общее количество плиток \(x\) равно 37, 79, 121 и т.д. Однако, подходит только число 37, так как это минимальное положительное целое число, удовлетворяющее условиям задачи.

Ответ:
После постройки гаража на квадратной площадке останется 37 плиток.