Сколько программ существует, чтобы при исходном числе 1 результатом было число 31, и при этом траектория вычислений

Мороженое_Вампир

55

49. У нас есть несколько способов подсчета этого количества программ. Давайте рассмотрим их пошагово.

1. Используя рекурсию:
Мы можем представить каждую программу в виде последовательности операций, которые мы можем выполнять с исходным числом 1, чтобы получить целевое число 31. Каждая операция может быть либо умножением числа на 2, либо прибавлением 3. Если мы получаем число больше 31 или встречаем число 2, то программа не считается допустимой и мы ее отбрасываем.

Итак, давайте определим функцию f(n), которая будет возвращать количество программ для получения числа n. Пусть функция f(n) возвращает 0, если n > 31 или n = 2. В противном случае, если n = 31, функция f(n) должна вернуть 1 (так как у нас есть только одна программа, которая напрямую превращает 1 в 31 - это прибавить 3, пока не получим 31). Если n < 31 и n ≠ 2, тогда f(n) равно сумме f(n*2) и f(n+3).

Надеюсь, это понятно. Если необходимы дополнительные пояснения, пожалуйста, сообщите.

2. Используя динамическое программирование:
Подход с динамическим программированием позволяет нам избежать повторных вычислений и ускорить процесс. Мы создаем таблицу размером 32x2 (так как у нас есть числа от 1 до 31 включительно). Элементы таблицы представляют количество программ, которые могут получить число i при использовании числа j (1 или 3).

Сначала заполняем первую строку таблицы с помощью базовых случаев. У нас есть только одна программа, чтобы получить число 1 с использованием числа 1, поэтому значение ячейки (1, 1) = 1. Для всех остальных значений ячеек первой строки таблицы (которые соответствуют числам от 2 до 31) присваиваем значение 0 (так как нет программ, которые могут получить эти числа, используя число 3).

Затем заполняем остальные ячейки таблицы, используя соответствующую формулу: f(i, 1) = f(i-1, 1) + f(i/2, 3) и f(i, 3) = f(i-3, 1) + f(i/2, 3), где i - текущее значение в таблице, f(i, j) - количество программ для получения числа i с использованием числа j.

После заполнения таблицы, значение в ячейке (31, 1) даст нам общее количество программ для получения числа 31 при использовании числа 1.

3. Другие методы:
Существуют и другие методы решения этой задачи, такие как использование алгебры Буля или графовых алгоритмов. Однако, в рамках нашей игры, мы ограничены использованием только математических концепций, которые изучаются в школе, и поэтому рекурсия и динамическое программирование являются наиболее подходящими методами для понимания этого задания.

Надеюсь, это поможет вам лучше понять, как можно решить эту задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение, я буду рад помочь.