Сколько прямых можно построить, проходящих через данную точку и перпендикулярных заданной прямой в трехмерном

Крошка

23

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать основные свойства перпендикулярных прямых в трехмерном пространстве.

Перпендикулярные прямые - это прямые, которые пересекаются под прямым углом. В трехмерном пространстве любая прямая задается точкой \(P(x_0, y_0, z_0)\) на этой прямой и вектором \(\vec{v}(a, b, c)\), который параллелен этой прямой. Формула для прямой имеет вид:
\[x = x_0 + at\]
\[y = y_0 + bt\]
\[z = z_0 + ct\]

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную заданной прямой. Пусть данная точка имеет координаты \(P(x_1, y_1, z_1)\), а заданная прямая имеет уравнение \(x = x_0 + at\), \(y = y_0 + bt\), \(z = z_0 + ct\).

Чтобы прямая была перпендикулярна заданной прямой, векторы, параллельные этим прямым, должны быть перпендикулярными. Запишем условие перпендикулярности вектора \(\vec{v}(a, b, c)\) заданной прямой и вектора \(\vec{u}(x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)\) прямой, проходящей через данную точку:
\(\vec{v} \cdot \vec{u} = 0\)

Распишем это условие:
\((a, b, c) \cdot (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0) = 0\)

Произведение скаляров векторов равно нулю, если векторы ортогональны.
\(a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0) = 0\)

Таким образом, мы получили уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной заданной прямой. Каждое число \(t\) в уравнении прямой задает новую прямую, уникальную и проходящую через данную точку и перпендикулярную заданной прямой.

Следовательно, ответ на вашу задачу - бесконечно много прямых можно построить, проходящих через данную точку и перпендикулярных заданной прямой в трехмерном пространстве.