Сколько прямых, проведенных через каждые две вершины куба ABCDA1B1C1D1, не пересекаются с плоскостью B1C1C?

Raduzhnyy_List

50

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как плоскость \(B1C1C\) пересекает куб \(ABCDA1B1C1D1\). Давайте вспомним, что это за плоскость.

Плоскость \(B1C1C\) проходит через вершины \(B1\), \(C1\) и \(C\). Обратите внимание, что в кубе \(ABCDA1B1C1D1\) существуют 12 ребер и 8 вершин. Нам нужно найти количество прямых, которые проходят через каждые две вершины куба и не пересекают плоскость \(B1C1C\).

Теперь рассмотрим все возможные пары вершин куба. Есть 8 вершин, поэтому всего возможно составить \(\binom{8}{2}\) пар, что равно 28.

Однако, некоторые из этих пар прямых будут пересекать плоскость \(B1C1C\). Нам надо исключить такие пары.

Понимаем, что прямая, проходящая через две вершины, будет пересекать плоскость \(B1C1C\), если она проходит через одну из следующих краев \((B1C1)\), \((BC1)\), \((B1C)\) или \((BC)\).

Таким образом, нам нужно исключить пять пар:

1. Пара вершин \(B1\) и \(C1\), так как они образуют край \((B1C1)\).
2. Пара вершин \(B\) и \(C1\), так как они образуют край \((BC1)\).
3. Пара вершин \(B1\) и \(C\), так как они образуют край \((B1C)\).
4. Пара вершин \(B\) и \(C\), так как они образуют край \((BC)\).
5. Пара вершин \(C\) и \(C1\), так как они находятся на плоскости \(B1C1C\).

Таким образом, из 28 возможных пар нам нужно исключить 5, что даст нам 23 прямых, которые не пересекают плоскость \(B1C1C\).

Ответ: Через каждые две вершины куба \(ABCDA1B1C1D1\) можно провести 23 прямых, которые не пересекают плоскость \(B1C1C\).