Сколько раз цифра 3 встречается в записи значения арифметического выражения: 32^31 + 8^60 - 32 в системе счисления

Cyplenok_6114

32

Хорошо, чтобы решить эту задачу, давайте разобьем выражение на части и посчитаем количество цифр "3" в каждой из них.

В выражении \(32^{31} + 8^{60} - 32\) есть три части: \(32^{31}\), \(8^{60}\) и \(-32\).

Начнем с первой части: \(32^{31}\). Чтобы посчитать количество цифр "3" в этом числе, нам нужно разложить его на множители и посмотреть, сколько раз встречается цифра "3". Заметим, что число 32 состоит из двух множителей: 2 и 16. Число 16, в свою очередь, равно \(2^4\). Таким образом, мы можем представить число 32 следующим образом: \(32 = 2 \cdot 2^{4}\). Теперь возведем это в 31 степень: \((2 \cdot 2^{4})^{31}\). По свойствам степеней, мы можем перемножить коэффициенты и сложить показатели степеней: \(2^{31} \cdot (2^{4})^{31}\). Значит, число \(32^{31}\) можно представить в виде \(2^{31} \cdot 2^{4 \cdot 31}\). А это равно \(2^{31} \cdot 2^{124}\) или, сокращая, \(2^{31 + 124}\) или \(2^{155}\).

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: \(8^{60}\). Заметим, что число 8 равно \(2^{3}\). Тогда мы можем представить число \(8^{60}\) в виде \((2^{3})^{60}\), что равно \(2^{3 \cdot 60}\) или \(2^{180}\).

Перейдем к третьей части выражения: \(-32\). Здесь все просто, так как мы имеем одну цифру "3".

Теперь, зная значения всех трех частей выражения, мы можем сложить их и посчитать количество цифр "3". Давайте сделаем это.

\(2^{155} + 2^{180} - 32\)

Здесь нам нужно учесть, что мы работаем в системе счисления с основанием, которое мы не указали в задаче. Давайте назовем это основание \(n\). Тогда мы можем записать выражение в следующем виде:

\(2^{155} \equiv a_3 \cdot n^{3} + a_2 \cdot n^{2} + a_1 \cdot n^{1} + a_0 \cdot n^{0}\)

\(2^{180} \equiv b_3 \cdot n^{3} + b_2 \cdot n^{2} + b_1 \cdot n^{1} + b_0 \cdot n^{0}\)

\(-32 \equiv c_2 \cdot n^{2} + c_1 \cdot n^{1} + c_0 \cdot n^{0}\)

где \(a_3, a_2, a_1, a_0, b_3, b_2, b_1, b_0, c_2, c_1, c_0\) - это цифры в соответствующих позициях.

Нам известно, что в записи каждой из этих частей есть цифра "3". Мы должны учесть, что в выражениях \(2^{155}\) и \(2^{180}\) есть множители \(n^{3}\). Если число \(n\) больше или равно 4, то \(n^{3}\) содержит цифру "3" и в записи \(2^{155}\) и \(2^{180}\) будет также присутствовать цифра "3". Заметим, что \(n\) не может быть менее 4, так как иначе нам было бы невозможно получить число 32, что входит в выражение.

Теперь давайте подставим значение в \(n = 4\) в \(2^{155}\) и \(2^{180}\):

\(2^{155} \equiv a_3 \cdot 4^{3} + a_2 \cdot 4^{2} + a_1 \cdot 4^{1} + a_0 \cdot 4^{0}\)

\(2^{180} \equiv b_3 \cdot 4^{3} + b_2 \cdot 4^{2} + b_1 \cdot 4^{1} + b_0 \cdot 4^{0}\)

Таким образом, мы можем утверждать, что число "3" будет присутствовать не менее одного раза в каждой из этих двух частей, а также в третьей части \(-32\). Следовательно, минимальное количество цифр "3", которое появится в записи значения арифметического выражения \(32^{31} + 8^{60} - 32\) в системе счисления с основанием 4, равно 3.