Сколько различных комбинаций можно составить, выбирая 9 шаров из ящика с 30 шарами трех цветов, включая по 3 шара

Zvezdopad_Volshebnik

51

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и принципы подсчета. У нас есть ящик с 30 шарами трех цветов, по 3 шара каждого цвета. Мы должны выбрать 9 шаров из этого ящика и определить, сколько различных комбинаций мы можем составить.

Количество комбинаций можно найти с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний записывается как \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\), где \(n\) - общее количество объектов для выбора (в нашем случае, количество шаров), а \(k\) - количество объектов, которые нам нужно выбрать (в нашем случае, количество шаров, которые нужно выбрать из ящика).

В нашей задаче, \(n\) равно общему количеству шаров в ящике, то есть 30 шарам. А \(k\) равно количеству шаров, которое мы выбираем, а именно 9 шаров.

Подставим значения \(n = 30\) и \(k = 9\) в формулу сочетаний:

\[C(30, 9) = \frac{{30!}}{{9! \cdot (30 - 9)!}}\]

Теперь рассчитаем это выражение:

\[C(30, 9) = \frac{{30!}}{{9! \cdot 21!}}\]

\[C(30, 9) = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21!}}{{9! \cdot 21!}}\]

\[C(30, 9) = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}}{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[C(30, 9) = 3,405,150\]

Таким образом, количество различных комбинаций, которые можно составить, выбирая 9 шаров из ящика с 30 шарами трех цветов, включая по 3 шара каждого цвета, равно 3,405,150.