Сколько различных шестизначных чисел с цифрами 1, 2 и 3 могут быть составлены, при условии, что цифра 1 используется

Амелия

9

Чтобы решить эту задачу, мы можем применить принципы комбинаторики. Давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Размещение цифры 1 на первом или втором месте.
Цифра 1 может находиться только на первом или втором месте, так как остальные цифры могут повторяться или отсутствовать вовсе. Таким образом, у нас есть два варианта размещения цифры 1.

Шаг 2: Размещение оставшихся цифр.
На оставшиеся четыре позиции мы можем разместить цифры 2 и 3 любым удобным способом. Возможные варианты размещения:
- 4 цифры 2 и 0 цифр 3
- 3 цифры 2 и 1 цифра 3
- 2 цифры 2 и 2 цифры 3
- 1 цифра 2 и 3 цифры 3
- 0 цифр 2 и 4 цифры 3

Шаг 3: Вычисление количества вариантов для каждого шага.
Для каждого шага мы вычисляем количество вариантов исходя из числа доступных цифр.

- Шаг 1: Есть два варианта размещения цифры 1.
- Шаг 2: Количество вариантов зависит от количества цифр 2 и 3, которые мы выбираем. Используем формулу размещения с повторениями:
a) 4 цифры 2 и 0 цифр 3: \(C(4,4)\) - количество способов выбрать 4 позиции для цифры 2.
b) 3 цифры 2 и 1 цифра 3: \(C(4,3)\) - количество способов выбрать 3 позиции для цифры 2 и 1 позицию для цифры 3.
c) 2 цифры 2 и 2 цифры 3: \(C(4,2)\) - количество способов выбрать 2 позиции для цифры 2 и 2 позиции для цифры 3.
d) 1 цифра 2 и 3 цифры 3: \(C(4,1)\) - количество способов выбрать 1 позицию для цифры 2 и 3 позиции для цифры 3.
e) 0 цифр 2 и 4 цифры 3: \(C(4,0)\) - количество способов выбрать 0 позиции для цифры 2 и 4 позиции для цифры 3.

Шаг 4: Находим общее количество различных шестизначных чисел с цифрами 1, 2 и 3.
Мы умножаем количество вариантов каждого шага, так как эти варианты не зависят друг от друга.

Общее количество различных шестизначных чисел:
\(2 \times (C(4,4) + C(4,3) + C(4,2) + C(4,1) + C(4,0))\)

Теперь давайте вычислим это для вас, используя формулы:

\(C(4,4) = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1\)

\(C(4,3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4\)

\(C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6\)

\(C(4,1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4\)

\(C(4,0) = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1\)

Общее количество различных шестизначных чисел:
\(2 \times (1 + 4 + 6 + 4 + 1) = 32\)

Таким образом, количество различных шестизначных чисел с цифрами 1, 2 и 3, при условии, что цифра 1 используется не более двух раз и может находиться только на первом или втором месте, составляет 32.