Сколько различных способов можно выбрать 4 космонавта из группы, состоящей из 16 человек, включая 7 россиян

Вечерний_Туман_815

11

Чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать комбинаторику.

В данном случае мы выбираем 4 космонавта из общей группы из 16 человек. Это означает, что нам нужно учесть все возможные комбинации выбора 4-х человек из 16.

Также нужно учесть условие задачи, что в группе должны быть представители России, США, Японии и Китая.

Для начала посмотрим, сколько всего способов выбрать 4 космонавта из 16 человек.

Для этого мы можем использовать формулу "k по n", обозначаемую как \(C(n, k)\) или \(\binom{n}{k}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - сколько элементов нужно выбрать.

В нашем случае это будет \(C(16, 4)\) или \(\binom{16}{4}\).

Вычислим это значение:

\[
C(16, 4) = \binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}
\]

где "!" означает факториал.

\[
16! = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12! = 20922789888000
\]

\[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
\]

\[
12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 479001600
\]

Теперь мы можем подставить эти значения:

\[
C(16, 4) = \frac{20922789888000}{24 \cdot 479001600} = 13,860
\]

Таким образом, общее количество способов выбрать 4 космонавта из 16 человек равно 13,860.

Однако нам нужно найти число способов выбора 4 космонавтов так, чтобы в группе присутствовали представители всех стран.

Для этого мы можем вычесть из общего количества способов выбора (13,860) все неподходящие варианты, в которых не присутствуют представители всех стран.

Рассмотрим количество способов выбрать 4 космонавта так, чтобы в группе не было россиян, американцев, японцев или китайцев.

1) Если в группе нет россиян:
Тогда нам нужно выбрать 4 космонавтов из 16-7=9 человек (исключаем 7 россиян).

\[
C(9, 4) = \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!}
\]

\[
9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! = 362880
\]

\[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
\]

\[
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
\]

\[
C(9, 4) = \frac{362880}{24 \cdot 120} = 126
\]

2) Аналогично поступаем для американцев, японцев и китайцев:

Для американцев:
\[
C(12, 4) = \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495
\]

Для японцев:
\[
C(13, 4) = \binom{13}{4} = \frac{13!}{4!(13-4)!} = 715
\]

Для китайцев:
\[
C(14, 4) = \binom{14}{4} = \frac{14!}{4!(14-4)!} = 1001
\]

Теперь мы можем вычислить общее количество способов выбрать 4 космонавта так, чтобы в группе присутствовали представители всех стран:

\[
Общее \space количество = C(16, 4) - C(9, 4) - C(12, 4) - C(13, 4) - C(14, 4)
\]

\[
= 13860 - 126 - 495 - 715 - 1001
\]

\[
= 11523
\]

Таким образом, искомое количество способов выбрать 4 космонавтов так, чтобы в группе присутствовали представители всех стран, равно 11,523.