Сколько шестерок содержится в записи числа 343^5 – 7^9 + 48 в семеричной системе счисления?

Zoloto

63

Чтобы решить эту задачу, нам нужно перевести числа в семеричную систему счисления и выполнить операции. Давайте начнем.

1. Сначала нам нужно вычислить значение числа \(343^5\) в десятичной системе счисления. Чтобы это сделать, возведем число 343 в степень 5:
\[343^5 = 343 \times 343 \times 343 \times 343 \times 343\]
Это может показаться долгим вычислением, но мы можем разбить его на более маленькие шаги:
\[343 \times 343 = 117,649\]
\[117,649 \times 343 = 40,353,607\]
\[40,353,607 \times 343 = 13,843,579,641\]
\[13,843,579,641 \times 343 = 4,753,227,484,987\]
Таким образом, \(343^5\) равно 4,753,227,484,987.

2. Затем нам нужно вычислить значение числа \(7^9\) в десятичной системе счисления. Возведем число 7 в 9-ю степень:
\[7^9 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7\]
Вычислим это по шагам:
\[7 \times 7 = 49\]
\[49 \times 7 = 343\]
\[343 \times 7 = 2,401\]
\[2,401 \times 7 = 16,807\]
\[16,807 \times 7 = 117,649\]
\[117,649 \times 7 = 823,543\]
\[823,543 \times 7 = 5,764,801\]
\[5,764,801 \times 7 = 40,352,607\]
\[40,352,607 \times 7 = 282,468,249\]
Таким образом, \(7^9\) равно 282,468,249.

3. Теперь сложим \(343^5\) и \(7^9\) и вычтем из этой суммы число 48:
\(4,753,227,484,987\) + \(282,468,249\) - \(48 = 4,753,509,953,188\)

4. Последний шаг - переведем полученное число \(4,753,509,953,188\) в семеричную систему счисления. Воспользуемся делением числа на 7 и записью остатков в обратном порядке:
\[4,753,509,953,188 / 7 = 679,072,850,455\] остаток 6
\[679,072,850,455 / 7 = 97,010,407,207\] остаток 2
\[97,010,407,207 / 7 = 13,858,629,601\] остаток 0
\[13,858,629,601 / 7 = 1,979,804,228\] остаток 5
\[1,979,804,228 / 7 = 282,829,175\] остаток 2
\[282,829,175 / 7 = 40,404,167\] остаток 1
\[40,404,167 / 7 = 5,772,023\] остаток 0
\[5,772,023 / 7 = 824,574\] остаток 2
\[824,574 / 7 = 117,796\] остаток 6
\[117,796 / 7 = 16,828\] остаток 4
\[16,828 / 7 = 2,404\] остаток 0
\[2,404 / 7 = 343\] остаток 5
\[343 / 7 = 49\] остаток 0
\[49 / 7 = 7\] остаток 0
\[7 / 7 = 1\] остаток 0

Получили число в семеричной системе счисления: \(100,046,052,250\).

Таким образом, ответ на задачу составляет 100,046,052,250. В данной записи числа содержится одна шестерка.