Сколько шестизначных чисел существует, у которых сумма всех цифр не превышает определенного значения?

Viktoriya

7

Конечно, я могу помочь с решением этой задачи. Чтобы определить количество шестизначных чисел с суммой цифр, которая не превышает заданное значение, мы можем использовать метод генерации комбинаторных чисел.

Пусть заданное значение суммы цифр равно \(k\). Чтобы решить задачу, мы можем разбить ее на несколько случаев в зависимости от суммы цифр.

1. Случай, когда сумма цифр равна 0: Единственное шестизначное число, у которого сумма всех цифр равна 0, - это число 000000.

2. Случай, когда сумма цифр равна 1:
- Единственное шестизначное число, у которого сумма цифр равна 1, - это число 100000.
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1} = 6\), так как мы можем выбрать одну позицию для цифры 1 из шести возможных.

3. Случай, когда сумма цифр равна 2:
- Существуют два варианта шестизначных чисел с суммой цифр, равной 2: 200000 и 110000.
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1} + \binom{5}{2} = 6 + 10 = 16\), так как мы можем выбрать одну позицию для цифры 2 и две позиции для цифры 1 из шести и пяти возможных соответственно.

Таким же образом, мы можем продолжить процесс для всех возможных значений сумм цифр от 3 до 9.

4. Сумма цифр равна 3:
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1} + \binom{5}{3} = 6 + 10 = 16\)

5. Сумма цифр равна 4:
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1} + \binom{5}{4} = 6 + 5 = 11\)

6. Сумма цифр равна 5:
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1} + \binom{5}{5} = 6 + 1 = 7\)

7. Сумма цифр равна 6:
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1}\) = 6

8. Сумма цифр равна 7 и 8:
- Не существует шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр равна 7 или 8.

9. Сумма цифр равна 9:
- Количество таких чисел: \(\binom{6}{1}\) = 6

Таким образом, общее количество шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр не превышает значение \(k\), составляет сумму количеств чисел для каждой суммы от 0 до 9:

\[
1 + 6 + 16 + 16 + 11 + 7 + 6 + 6 = 69
\]

Таким образом, существует 69 шестизначных чисел, у которых сумма всех цифр не превышает заданного значения.