Сколько составляет площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, если длины сторон

Собака

23

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, сначала нам нужно вычислить высоту пирамиды.

Представим себе правильную треугольную усеченную пирамиду с основаниями A и B длиной 10 см и 18 см соответственно. Допустим, что у нас есть третье основание C и высота пирамиды h.

Мы можем разделить пирамиду на две части: прямоугольную трапецию и прямоугольный треугольник.

Трапеция имеет основания A и B, а ее высота равна h. Площадь трапеции равна среднему арифметическому значению длин оснований, умноженному на высоту:

\[S_1 = \frac{{(A + B) \cdot h}}{2} = \frac{{(10 + 18) \cdot h}}{2} = 14h\]

Треугольник с основанием A и высотой h имеет площадь:

\[S_2 = \frac{{A \cdot h}}{2} = \frac{{10 \cdot h}}{2} = 5h\]

Теперь мы можем выразить высоту пирамиды h через длину бокового ребра пирамиды. Обратимся к прямоугольному треугольнику, образованному основанием A и высотой пирамиды h, а также боковым ребром пирамиды, которое обозначим как s.

С помощью теоремы Пифагора мы можем записать:

\[A^2 + h^2 = s^2\]
\[10^2 + h^2 = s^2\]
\[100 + h^2 = s^2\]
\[h^2 = s^2 - 100\]

Из этого уравнения мы можем выразить высоту h через боковое ребро s:

\[h = \sqrt{s^2 - 100}\]

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности пирамиды через боковое ребро s, используя значения, которые мы уже вычислили для S1 и S2:

\[S = S_1 + 2 \cdot S_2 = 14h + 2 \cdot 5h = 14h + 10h = 24h\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна \(24 \sqrt{s^2 - 100}\), где s - длина бокового ребра пирамиды.