Сколько способов Иван может расположить восемь своих шаров (три синих и пять красных) восьми пронумерованных коробках

Roman

43

Будем решать задачи по очереди.

1. Сколько способов Иван может расположить восемь своих шаров (три синих и пять красных) восьми пронумерованных коробках так, чтобы каждая коробка содержала один шар?

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Поскольку каждая коробка должна содержать один шар, нам нужно распределить восемь шаров по восьми коробкам.

Мы можем представить эту задачу как последовательность заполнения коробок шарами. В каждую коробку мы можем положить любой из восьми шаров. При этом, так как шары с одинаковыми цветами неотличимы, а только коробки пронумерованы, нам нужно учесть это при подсчете.

Здесь у нас будет два случая:
- Когда мы положим сначала все три синих шара, а затем пять красных;
- Когда сначала положим пять красных шаров, а потом три синих.

Используя формулу для сочетаний и учитывая, что у нас есть три синих и пять красных шаров, общее количество способов расположить шары будет равно:

\(^8C_3 \cdot ^5C_5 + ^8C_5 \cdot ^3C_3\)

Расчеты:
\(^8C_3 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\)

\(^5C_5 = \frac{5!}{5! \cdot (5-5)!} = 1\)

\(^8C_5 = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\)

\(^3C_3 = \frac{3!}{3! \cdot (3-3)!} = 1\)

Теперь, зная эти значения, мы можем рассчитать количество способов:

\(56 \cdot 1 + 56 \cdot 1 = 112\)

Итак, есть 112 различных способов расположить шары Ивана в коробках так, чтобы каждая коробка содержала один шар.

2. Сколько различных способов можно сформировать рабочую группу, состоящую из шести человек, выбрав из десяти человек, где два из них не могут работать вместе?

Эта задача также решается с использованием комбинаторики. Мы можем найти количество всех возможных групп из шести человек из десяти и вычесть количество групп, в которых два определенных человека не могут работать вместе.

Количество всех возможных групп из шести человек из десяти можно вычислить с помощью формулы для сочетаний:

\(^{10}C_6 = \frac{10!}{6! \cdot (10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\)

Теперь нужно найти количество групп, в которых два определенных человека не могут работать вместе. Это можно сделать, вычислив количество всех возможных групп из шести человек из девяти (без учета этих двух человек):

\(^9C_6 = \frac{9!}{6! \cdot (9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\)

Таким образом, количество различных способов сформировать рабочую группу, состоящую из шести человек, выбрав из десяти человек, где два из них не могут работать вместе, будет:

\(210 - 84 = 126\)

Итак, существует 126 различных способов сформировать такую рабочую группу.