Сколько сторон в выпуклом многоугольнике, если число его диагоналей в 8 раз больше числа его углов?

Малыш

66

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые свойства многоугольников. Давайте начнем с того, что сформулируем условие задачи.

Пусть \(n\) - количество углов в нашем выпуклом многоугольнике. Тогда, согласно условию, количество диагоналей будет равно 8 разам больше, чем количество углов. Пусть \(d\) - количество диагоналей. Тогда мы можем написать следующее уравнение:

\[d = 8n\]

Для того, чтобы понять количество сторон в нашем многоугольнике, нам понадобится знать, сколько диагоналей в нем содержится. Но прежде чем продолжить, нам потребуется знание о связи между количеством сторон \(s\) и количеством углов \(n\) в многоугольнике.

Формула для вычисления количества диагоналей \(d\) в многоугольнике с \(s\) сторонами и \(n\) углами задается следующим образом:

\[d = \frac{{n(n-3)}}{2}\]

Теперь, основываясь на этом, мы можем решить нашу задачу. Подставим значение равенства, которое мы нашли ранее:

\[\frac{{n(n-3)}}{2} = 8n\]

Далее, решим это уравнение:

\[\frac{{n^2 - 3n}}{2} = 8n\]

\[n^2 - 3n = 16n\]

\[n^2 - 19n = 0\]

Теперь, найдем значения \(n\), которые удовлетворяют это уравнение:

\[n(n - 19) = 0\]

Отсюда мы получаем два возможных значения: \(n = 0\) или \(n = 19\). Но у нас не может быть многоугольника без углов, поэтому отбрасываем \(n = 0\).

Значит, количество углов в нашем многоугольнике равно 19. Теперь давайте найдем количество сторон \(s\).

Воспользуемся формулой для диагоналей:

\[d = \frac{{n(n-3)}}{2}\]

Подставим значение \(n = 19\):

\[d = \frac{{19(19-3)}}{2}\]

\[d = \frac{{19 \cdot 16}}{2}\]

\[d = 19 \cdot 8\]

\[d = 152\]

Теперь мы знаем, что количество диагоналей равно 152. Зная, что каждая диагональ соединяет две вершины многоугольника, мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти количество сторон \(s\):

\[s = \frac{{n(n-3)}}{2} + n\]

Подставим значение \(n = 19\):

\[s = \frac{{19(19-3)}}{2} + 19\]

\[s = \frac{{19 \cdot 16}}{2} + 19\]

\[s = 19 \cdot 8 + 19\]

\[s = 152 + 19\]

\[s = 171\]

Таким образом, ответ на задачу: в нашем выпуклом многоугольнике 19 углов и 171 сторона.