Сколько существует целых чисел, для которых неравенство x^2-6x-27

Polosatik

36

Для начала, давайте решим неравенство \(x^2 - 6x - 27 > 0\). Чтобы найти значения \(x\), для которых это неравенство выполняется, воспользуемся тем, что произведение и сумма корней квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) связаны с коэффициентами \(a\), \(b\) и \(c\) следующим образом: сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а их произведение равно \(\frac{c}{a}\).

В нашем случае коэффициенты равны \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = -27\). Следовательно, сумма корней будет равна \(-(-6)/1 = 6\), а произведение будет равно \(-27/1 = -27\).

Неравенство \(x^2 - 6x - 27 > 0\) выполняется, когда оба корня \(x_1\) и \(x_2\) находятся за пределами интервала \((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\), где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена \(x^2 - 6x - 27 = 0\), то есть оба корня лежат либо слева от \(x_1\), либо справа от \(x_2\).

Так как сумма корней равна 6, а произведение равно -27, значит, один корень будет больше 6, а другой корень будет меньше -27.

Итак, решением данного неравенства будет множество всех целых чисел, которые меньше -27 или больше 6.

Ответ: неограниченное количество целых чисел.