Сколько существует четырехзначных чисел, где все цифры различны, не равны нулю и содержат как минимум одну четную

Yak_4029

35

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разбить ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определим все возможные способы выбора четверых различных цифр из десяти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Мы можем использовать формулу перестановок для этого. Формула перестановок выглядит следующим образом:

\[P(n, r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]

где \(P(n, r)\) обозначает количество перестановок из \(n\) элементов, выбранных \(r\) элементами и \(!\) обозначает факториал.

В нашем случае у нас имеется десять цифр, из которых мы выбираем четыре, поэтому мы получаем:

\[P(10, 4) = \frac{{10!}}{{(10-4)!}} = \frac{{10!}}{{6!}}\]

Шаг 2: Теперь нам нужно исключить все числа, состоящие только из четных цифр или только из нечетных цифр. Чтобы это сделать, давайте рассмотрим две ситуации:

Ситуация 1: Четыре четные цифры.

У нас есть пять возможных четных цифр: 2, 4, 6, 8, 0 (поскольку ноль также является четным числом). Мы можем выбрать все четыре цифры из этих пяти.

\[P(5, 4) = \frac{{5!}}{{(5-4)!}} = \frac{{5!}}{{1!}} = 5\]

Ситуация 2: Три четные цифры и одна нечетная цифра.

У нас есть четыре возможные четные цифры: 2, 4, 6, 8, и пять возможных нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Мы можем выбрать три цифры из четных и одну цифру из нечетных.

\[P(4, 3) = \frac{{4!}}{{(4-3)!}} = \frac{{4!}}{{1!}} = 4\]
\[P(5, 1) = \frac{{5!}}{{(5-1)!}} = \frac{{5!}}{{4!}} = 5\]

Шаг 3: Просуммируем результаты из двух ситуаций:

\(5 + (4 \cdot 5) = 25\)

Ответ: Существует 25 четырехзначных чисел, где все цифры различны, не равны нулю и содержат как минимум одну четную и хотя бы одну нечетную цифру.