Сколько различных треугольников можно образовать с использованием 16 точек, взятых на одной прямой, и 4 точек, взятых

Тигр

27

Чтобы решить эту задачу, давайте взглянем на условия более внимательно. Мы имеем 16 точек на одной прямой и 4 точки на параллельной прямой. Нам нужно определить, сколько различных треугольников можно образовать, используя эти точки.

Для начала, давайте рассмотрим треугольники, образованные только среди точек на одной прямой. Чтобы построить треугольник, нам необходимо выбрать 3 точки из 16 возможных. Воспользуемся формулой сочетания для нахождения количества комбинаций:

\[{C_{n}^{k}} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где \(C_{n}^{k}\) обозначает число сочетаний из n элементов по k, а \(n!\) - факториал числа n.

Применяя формулу, получим:

\[{C_{16}^{3}} = \frac{{16!}}{{3!(16-3)!}} = \frac{{16!}}{{3!13!}}\]

Таким образом, количество треугольников, образованных только точками на одной прямой, равно \(\frac{{16!}}{{3!13!}}\).

Теперь давайте рассмотрим треугольники, образованные среди точек на параллельной прямой. Как и в предыдущем случае, нам нужно выбрать 3 точки из 4 возможных. Применяя формулу сочетания, получим:

\[{C_{4}^{3}} = \frac{{4!}}{{3!(4-3)!}} = \frac{{4!}}{{3!1!}}\]

Таким образом, количество треугольников, образованных только точками на параллельной прямой, равно \(\frac{{4!}}{{3!1!}}\).

Однако, чтобы найти общее количество различных треугольников, которые можно образовать, мы должны учесть комбинации, в которых будет треугольник, образованный одной точкой из каждой прямой и одной точкой из параллельной прямой.

Количество таких комбинаций можно найти, выбирая 1 точку из 16 на одной прямой, 1 точку из 4 на параллельной прямой и 1 точку из 3 оставшихся точек на первой прямой. Воспользуемся формулой сочетания и сложим результаты:

\[{C_{16}^{1}} \times {C_{4}^{1}} \times {C_{3}^{1}}\]

Подставляя значения, получим:

\[{C_{16}^{1}} \times {C_{4}^{1}} \times {C_{3}^{1}} = \frac{{16!}}{{1!(16-1)!}} \times \frac{{4!}}{{1!(4-1)!}} \times \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}}\]

Теперь мы можем сложить результаты всех трех случаев, чтобы найти общее количество различных треугольников:

\(\frac{{16!}}{{3!13!}} + \frac{{4!}}{{3!1!}} + \frac{{16!}}{{1!(16-1)!}} \times \frac{{4!}}{{1!(4-1)!}} \times \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}}\)

Вычислив эту формулу, мы получим ответ на задачу.