Сколько существует натуральных чисел n, больших 900, для которых среди чисел 3n + 900n + 15, 2n есть две четырехзначных

Primula

26

Для начала разберемся с условием задачи. Нам дано, что среди чисел \(3n + 900n + 15\) и \(2n\) есть два четырехзначных числа. Наша задача - найти количество натуральных чисел \(n\), которые удовлетворяют этому условию и при этом больше 900.

Давайте начнем с выражения \(3n + 900n + 15\). Мы можем упростить его, объединив коэффициенты перед \(n\):
\[903n + 15\]

Теперь нам нужно определить, какие значения \(n\) обеспечат существование двух четырехзначных чисел среди \(903n + 15\) и \(2n\). Для этого, давайте рассмотрим каждое из двух чисел по отдельности.

Первое число: \(903n + 15\). Чтобы было четырехзначное число, значение выражения должно быть больше 999. Если мы разделим обе части неравенства на 3, получим:
\[301n + 5 > 333\]

Теперь давайте рассмотрим второе число: \(2n\). Чтобы оно было четырехзначным, значение выражения должно быть больше или равно 1000. Получим уравнение:
\[2n \geq 1000\]

Оба этих условия вместе могут дать нам набор значений для \(n\), которые удовлетворяют условию задачи.

Первое условие:
\[301n + 5 > 333\]
\[301n > 328\]
\[n > \frac{{328}}{{301}}\]

Второе условие:
\[2n \geq 1000\]
\[n \geq \frac{{1000}}{{2}}\]

Теперь давайте найдем пересечение этих двух интервалов, чтобы определить диапазон значений, которые удовлетворяют обоим условиям. Мы выбираем наибольшее значение нижней границы и наименьшее значение верхней границы из двух интервалов.

\[n > \frac{{328}}{{301}}\] приближенно равно \[n > 1,08803987\]
\[n \geq \frac{{1000}}{{2}}\] равно \(n \geq 500\)

Наши значения должны быть как минимум больше или равны 500 и больше 1,08803987. Также помните, что мы ищем только натуральные числа \(n\), поэтому наиближайшие натуральные числа, удовлетворяющие условию, будут 501, 502, ...
Таким образом, количество натуральных чисел \(n\), которые удовлетворяют условию задачи, будет бесконечно много, т.к. для каждого целого числа \(n \geq 500\) мы имеем новое подходящее натуральное число.

Ответ: Бесконечное количество натуральных чисел \(n\) удовлетворяют условию задачи.