Каково упрощенное выражение для 8d-3/3d(d-c) - 24c-9/9c(d-c)?

Tatyana

22

Хорошо! Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. Начнем с исходного выражения:
\[8d-\frac{3}{3d(d-c)} - \frac{24c-9}{9c(d-c)}.\]

Для того чтобы упростить это выражение, в первую очередь применим дистрибутивность и приведем подобные слагаемые, если они есть.

Разобьем каждую дробь на две отдельные дроби:
\[8d - \frac{3}{3d(d-c)} - \left(\frac{24c}{9c(d-c)} - \frac{9}{9c(d-c)}\right).\]

Упростим выражение внутри скобок. В числителе первой дроби у нас получается \(24c\), а в числителе второй дроби получаем \(9\). Знаменатель у обеих дробей остается таким же - \(9c(d-c)\):
\[8d - \frac{3}{3d(d-c)} - \left(\frac{24c}{9c(d-c)} - \frac{9}{9c(d-c)}\right) = 8d - \frac{3}{3d(d-c)} - \frac{24c}{9c(d-c)} + \frac{9}{9c(d-c)}.\]

Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей. Общим знаменателем будет \(9c(d-c)\). Умножим каждое слагаемое на необходимую дробь, чтобы привести их к общему знаменателю:
\[8d - \frac{3}{3d(d-c)} - \frac{24c}{9c(d-c)} + \frac{9}{9c(d-c)} = \frac{(8d)(9c(d-c))}{(9c(d-c))} - \frac{(3)(d-c)}{(3d(d-c))} - \frac{(24c)(d-c)}{(9c(d-c))} + \frac{(9)(d-c)}{(9c(d-c))}.\]

Теперь просуммируем все числители:
\[\frac{(8d)(9c(d-c)) - (3)(d-c) - (24c)(d-c) + (9)(d-c)}{(9c(d-c))}.\]

Мы распределили вычитание в числителях:
\[\frac{(8d)(9c)(d-c) - 3(d-c) - (24c)(d-c) + 9(d-c)}{(9c)(d-c)}.\]

У нас есть общий множитель в каждом слагаемом, он равен \(d-c\):
\[\frac{(8d)(9c)(d-c) - 3(d-c) - (24c)(d-c) + 9(d-c)}{(9c)(d-c)} = \frac{(8d)(9c) - 3 - (24c) + 9}{(9c)(d-c)} \cdot (d-c).\]

Применим закон дистрибутивности и произведение полученной дроби и \( (d-c)\):
\[\frac{(8d)(9c) - 3 - (24c) + 9}{(9c)(d-c)} \cdot (d-c) = \frac{(72dc - 3 - 24c + 9)}{(9c)(d-c)} \cdot (d-c).\]

Теперь упростим числитель:
\[\frac{(72dc - 3 - 24c + 9)}{(9c)(d-c)} \cdot (d-c) = \frac{(72dc - 24c + 6)}{(9c)(d-c)} \cdot (d-c).\]

Заметим, что у нас есть одинаковый множитель в числителе и знаменателе, а именно \((d-c)\). Найденные множители сократятся:
\[\frac{(72dc - 24c + 6)}{(9c)(d-c)} \cdot (d-c) = \frac{(72dc - 24c + 6)}{(9c)}.\]

Итак, упрощенное выражение для данной задачи равно:
\[\frac{72dc - 24c + 6}{9c}.\]

Это и является окончательным упрощенным выражением для данной задачи.