Сколько существует различных пар натуральных чисел таких, что оба числа, записанные в пятеричной системе счисления

Evgeniy

8

Решение:

Дано: два трехзначных числа \(ABC\) и \(DEF\) в пятеричной системе, где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) - цифры.

Мы имеем равенство:
\[100A+10B+C + 100D+10E+F = XYZ\]
где \(X\), \(Y\), \(Z\) - цифры и все цифры \(X\), \(Y\), \(Z\) равны 1.

Так как \(XYZ\) может быть как двузначным, так и трехзначным числом, то рассмотрим оба случая.

1. Для двузначного суммарного числа:
Допустим, что \(X=1\) и \(Y=1\). Тогда из уравнения выше следует:
\[10(A+D) + (B+E) = 11\]
Так как \(A+D\) и \(B+E\) являются пятеричными числами, которые прибавлены дают 11, возможны следующие варианты:
- \(A+D = 1\), \(B+E = 0\) (пятьричные числа 01 и 00)
- \(A+D = 0\), \(B+E = 1\) (пятеричные числа 10 и 01)

2. Для трехзначного суммарного числа:
Допустим, что \(X=1\), \(Y=1\) и \(Z=1\). Тогда из уравнения выше следует:
\[100(A+D) + 10(B+E) + (C+F) = 111\]
Аналогично предыдущему случаю получаем:
- \(A+D = 1\), \(B+E = 1\), \(C+F = 1\) (пятеричные числа 110, 011 и 001)

Таким образом, всего существует четыре различных пар натуральных чисел удовлетворяющих условию задачи. Ответ: 4.