Сколько существует различных способов выплатить сдачу в размере n рублей купюрами и монетами определенного достоинства?

Морж_538

38

Для решения этой задачи мы можем использовать динамическое программирование. Давайте пошагово разберемся с алгоритмом.

1. Создадим массив dp, где dp[i] будет обозначать количество различных способов выплатить сдачу равную i рублям. Изначально все значения dp[i] будут равны 0.

2. Теперь заполним базовые случаи нашей задачи. У нас есть монеты и купюры определенного достоинства, давайте обозначим их значениями coins[], где каждый элемент coins[i] представляет достоинство монеты или купюры. Для удобства, отсортируем значения coins[] в порядке возрастания.

Если i = 0, тогда у нас есть один способ выплатить 0 рублей - ничего не делать, поэтому dp[0] = 1.
Если условие i >= coins[j] выполняется, тогда dp[i] увеличивается на dp[i - coins[j]]. Это означает, что мы добавляем количество способов выплатить сдачу i - coins[j] рублей к общему количеству способов выплатить сдачу i рублей.

3. Теперь, чтобы заполнить массив dp, мы будем проходить по всем значениям монет и купюр. Последовательно увеличивая каждое значение i от 1 до n и выполняя проверку.

Давайте рассмотрим пример для n = 5 и coins[] = {1, 2, 5}:

- При i = 0, dp[0] = 1 (базовый случай)

- При i = 1, у нас есть только один способ выплатить 1 рубль с использованием монеты достоинством 1: {1}. Таким образом, dp[1] = dp[1 - 1] = dp[0] = 1.

- При i = 2, у нас есть два способа выплатить 2 рубля: {1, 1} и {2}. Таким образом, dp[2] = dp[2 - 1] + dp[2 - 2] = dp[1] + dp[0] = 1 + 1 = 2.

- При i = 3, у нас есть три способа выплатить 3 рубля: {1, 1, 1}, {1, 2} и {3}. Таким образом, dp[3] = dp[3 - 1] + dp[3 - 2] + dp[3 - 5] = dp[2] + dp[1] + dp[-2] = 2 + 1 + 0 = 3.

- При i = 4, у нас есть четыре способа выплатить 4 рубля: {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {2, 2} и {4}. Таким образом, dp[4] = dp[4 - 1] + dp[4 - 2] + dp[4 - 5] = dp[3] + dp[2] + dp[-1] = 3 + 2 + 0 = 5.

- При i = 5, у нас есть семь способов выплатить 5 рублей: {1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 2}, {1, 2, 2}, {1, 1, 3}, {2, 3}, {1, 4} и {5}. Таким образом, dp[5] = dp[5 - 1] + dp[5 - 2] + dp[5 - 5] = dp[4] + dp[3] + dp[0] = 5 + 3 + 1 = 9.

Итак, ответ для n = 5 равен 9. Давайте сформулируем наш ответ:

Количество различных способов выплаты сдачи в размере n рублей равно dp[n].

Надеюсь, это подробное и пошаговое объяснение помогло вам понять решение этой задачи!