Сколько существует разных слов, которые может составить Петя, переставляя буквы данного слова длиной в шесть букв

Pelikan

29

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принципы комбинаторики. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем общее количество различных слов, которые можно составить из данного слова длиной в шесть букв без каких-либо ограничений на повторяющиеся буквы.

Для этого мы можем использовать принцип перестановки без повторений. У нас есть 6 позиций, в которые мы можем разместить буквы заданного слова. В данном случае, так как буквы могут повторяться, у нас будет 6 возможностей выбрать любую из букв в каждой позиции.

Таким образом, общее количество различных слов, которые можно составить, равно \(6^6 = 46656\).

Шаг 2: Теперь мы должны учесть ограничение, что слова не должны содержать две подряд одинаковые буквы.

Для этого мы можем использовать метод дополнения. Давайте вычислим количество слов, которые содержат две подряд одинаковые буквы, и вычтем это значение из общего количества слов.

Есть несколько способов решить этот шаг, и один из них - это использовать метод комбинаторики разбиений. Мы разобьем слово на блоки, где каждый блок представляет собой последовательность букв одного вида (например, две подряд идущие буквы "А" будут образовывать один блок).

Если мы имеем два одинаковых блока, мы можем переставить их местами, и это не изменит само слово. Например, в слове "ААВВСС" у нас есть два блока "А" и два блока "В". Мы можем поменять местами два блока "А" или два блока "В" между собой без изменения самого слова.

Таким образом, количество различных перестановок для каждого блока равно факториалу количества блоков. В нашем случае у нас 2 блока одинаковых букв.

Для каждого блока "А" у нас есть \(2!\) способа переставить эти блоки между собой, и для каждого блока "В" у нас есть \(2!\) возможности перестановки. Общее количество перестановок для двух блоков равно \((2!)^2 = 4\).

Теперь мы должны учесть ограничение, что блоки не могут быть соседними. Мы можем рассмотреть блоки как отдельные сущности, поэтому у нас получится 3 позиции, в которые мы можем разместить блоки.

Для первой позиции у нас есть 3 возможности: разместить первый блок "А", разместить первый блок "В" или не размещать блок вовсе.

Для второй позиции у нас остается 2 возможности, так как блоки не могут быть соседними.

Для третьей позиции у нас остается 2 возможности.

Таким образом, общее количество слов, которые имеют две подряд одинаковые буквы, равно \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\).

Шаг 3: Теперь мы можем вычислить количество различных слов, удовлетворяющих условиям задачи, вычитая количество слов с двумя подряд одинаковыми буквами из общего количества слов.

Итак, искомое количество слов равно \(46656 - 12 = 46644\).

Таким образом, Петя может составить 46644 различных слова длиной в шесть букв, избегая слов с двумя подряд одинаковыми буквами.