Сколько точек пересечения могут быть у пяти прямых, каждые две из которых пересекаются? Какое количество пересечений

Vsevolod

33

У нас есть пять прямых, и каждые две из них пересекаются. Чтобы найти количество точек пересечения, давайте рассмотрим, как прямые могут пересекаться.

Предположим, что наша первая прямая пересекает все четыре оставшиеся прямые. Это означает, что каждая из остальных прямых пересекается с первой. По условию каждые две прямые должны пересекаться, поэтому это возможно.

Таким образом, первая прямая будет иметь четыре точки пересечения с четырьмя другими прямыми.

Затем рассмотрим вторую прямую. Она уже пересекла первую прямую в одной точке. И чтобы пересечь все остальные прямые, она должна добавить еще три точки пересечения. Таким образом, вторая прямая добавляет три точки пересечения к общему числу.

Третья прямая будет пересекать две уже имеющиеся прямые. Она добавляет две точки пересечения.

Четвертая прямая пересекает только одну уже имеющуюся прямую и добавляет одну точку пересечения.

Наконец, пятая прямая не пересекает ни одну из уже имеющихся прямых, так как они все уже были пересечены другими прямыми.

Складывая все точки пересечений, добавленные прямыми, получаем:
4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10

Таким образом, максимальное количество точек пересечения у пяти прямых, каждые две из которых пересекаются, равно 10.