Сколько треугольников можно найти на изображенной фигуре?

Zayka

61

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим подход к подсчету треугольников на данной фигуре.

Первым шагом, давайте обозначим основные элементы этого изображения. Здесь у нас есть гексагон — шестиугольник, с шестью сторонами, и имеющий пять вершин. Обозначим вершины гексагона как A, B, C, D, E и F. Давайте соединим эти вершины линиями, чтобы получить все возможные треугольники.

1. Рассмотрим треугольники, которые можно образовать внутри гексагона, используя только вершины A, B, C, D, E и F. Поскольку у нас есть 5 вершин, можно выбрать 3 из них для образования треугольника. Таким образом, количество треугольников, которые можно образовать внутри гексагона, равно количеству комбинаций из 5 по 3.

Количество треугольников внутри гексагона = \(C_{5}^{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10\).

2. Теперь рассмотрим треугольники, которые можно образовать, проходя через стороны гексагона. Для этого мы можем выбрать две вершины из пяти вершин гексагона и еще одну вершину из двух непримыкающих к выбранным вершинам. Таким образом, количество треугольников, которые можно образовать, проходя через стороны гексагона, равно количеству комбинаций из 5 по 2, умноженному на число непримыкающих сторон гексагона, то есть 2.

Количество треугольников, проходящих через стороны гексагона = \(C_{5}^{2} \times 2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times 2 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} \times 2 = 20\).

Таким образом, общее количество треугольников, которые можно найти на данной фигуре, равно сумме треугольников внутри гексагона и треугольников, проходящих через стороны гексагона:

Общее количество треугольников = 10 + 20 = 30.

Итак, на данной фигуре можно найти 30 треугольников.