Сколько учащихся, состоящих в школе олимпийского резерва, в наименьшем количестве, если каждый хоккеист делает друзей

Родион

61

Для решения задачи, давайте представим, что у нас есть две группы учащихся: группа хоккеистов и группа гимнасток.

Из условия задачи, каждый хоккеист делает друзей с 5 гимнастками и 5 хоккеистами из школы олимпийского резерва. А также каждая гимнастка вступает в дружеские отношения с точно 4 гимнастками и 4 хоккеистами.

Теперь давайте приступим к решению задачи:

Предположим, что в школе олимпийского резерва у нас есть \(h\) хоккеистов и \(g\) гимнастов.
Каждый хоккеист дружит с 5 гимнастками, поэтому всего будет \(5h\) дружеских отношений между хоккеистами и гимнастками.
Каждая гимнастка дружит с 4 гимнастками, поэтому всего будет \(4g\) дружеских отношений между гимнастками.

Также из условия, все дружбы взаимны, поэтому каждая дружба будет учтена дважды (один раз для хоккеиста и один раз для гимнастки).

Тогда общее количество дружеских отношений между хоккеистами и гимнастками равно:
\[5h + 4g = 2 \times (5h + 4g)\]

Теперь нужно найти наименьшее возможное значение переменной \(h + g\), обозначим его как \(n\).

Подставляем \(h + g = n\) в выражение для дружеских отношений:
\[5h + 4g = 2 \times (5h + 4g) \Rightarrow 5h + 4g = 10h + 8g \Rightarrow 8g - 4h = 0\]

После соответствующих преобразований получаем:
\[2g = h\]

Теперь заменяем \(h\) на \(2g\) в выражении \(h + g = n\):
\[2g + g = n \Rightarrow 3g = n\]

Таким образом, наименьшее возможное значение переменной \(n\), обозначающей количество учащихся в школе олимпийского резерва, составляет 3. То есть в школе олимпийского резерва находится как минимум 3 учащихся.

Данное решение основывается на предположении, что каждая гимнастка и хоккеист участвует только в одном дружеском отношении, а также на взаимности всех дружеских связей.