Сколько участников международной олимпиады не владеют ни английским, ни немецким, ни французским языками?

Леонид

65

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо обратиться к понятию множеств и операциям над ними. Пусть множество всех участников международной олимпиады обозначается как \(U\). Множество участников, которые владеют английским языком, обозначим как \(A\), множество участников, владеющих немецким языком, обозначим как \(B\), а множество участников, владеющих французским языком, обозначим как \(C\).

Тогда, по условию задачи, мы ищем количество участников, которые не владеют ни одним из этих трех языков. Обозначим это множество как \(X\).

Тогда, чтобы найти количество элементов в множестве \(X\), мы можем воспользоваться формулой включений-исключений для нахождения объединения и пересечения множеств:

\[|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|\]

В данной формуле \(|\ldots|\) обозначает количество элементов в множестве.

Для задачи дано, что \(|A| = 100\), \(|B| = 150\), \(|C| = 80\), \(|A \cap B| = 30\), \(|A \cap C| = 20\), \(|B \cap C| = 10\) и \(|A \cap B \cap C| = 5\). Подставляя данные значения в формулу для включений-исключений, получаем:

\[|X| = |A \cup B \cup C| = 100 + 150 + 80 - 30 - 20 - 10 + 5\]

Вычисляя данное выражение, получаем:

\[|X| = 275\]

Таким образом, в международной олимпиаде 275 участников не владеют ни английским, ни немецким, ни французским языками.