Сколько участников решили все три задачи, если 24 участника решили только одну задачу?

Rak_2942

23

Для решения задачи можно использовать принцип включения-исключения. Давайте разберемся пошагово.

Пусть \(A_1\), \(A_2\) и \(A_3\) обозначают события, когда участник решает первую, вторую и третью задачу соответственно. Мы хотим найти количество участников, которые решили все три задачи, то есть число \(n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\).

Из условия задачи известно, что 24 участника решили только одну задачу. Пусть \(B_1\), \(B_2\) и \(B_3\) обозначают события, когда участник решил только первую, только вторую и только третью задачу соответственно.

Из принципа включения-исключения мы знаем, что:

\[n(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) - n(A_1 \cap A_2) - n(A_1 \cap A_3) - n(A_2 \cap A_3) + n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\]

Так как 24 участника решили только одну задачу, у нас есть:

\[n(A_1) = n(A_2) = n(A_3) = 24\]
\[n(A_1 \cap A_2) = n(A_1 \cap A_3) = n(A_2 \cap A_3) = 0\]

Подставляя это в наше уравнение и зная, что общее количество участников равно 24, получаем:

\[24 + 24 + 24 - 0 - 0 - 0 + n(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 72 + n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\]

Таким образом, нам нужно найти значение \(n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\), чтобы решить задачу.

Из этого мы видим, что количество участников, решивших все три задачи, равно \(72 + n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)\).

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.