Сколько уникальных чисел будет показано на экране автомата при последовательном вводе всех натуральных чисел от

Романовна

17

Данная задача требует некоторой систематики в рассуждениях. Давайте по шагам разберем алгоритм обработки числа n и определим количество уникальных чисел, которые будут показаны на экране.

1) Построение двоичной записи числа n:
Для того, чтобы построить двоичную запись числа n, мы будем получать остаток от деления числа n на 2 и сохранять его. Затем разделим число n на 2 и продолжим делать то же самое до тех пор, пока n не станет равным 0. Последовательность остатков, начиная с последнего полученного остатка, будет представлять двоичную запись числа n.

2) Удаление двух последних цифр:
Поскольку в двоичной записи числа n последние две цифры обозначают младшие разряды, удаление этих двух цифр эквивалентно делению числа n на 4 без остатка. Мы можем просто отбросить последние две цифры двоичной записи числа n.

3) Перевод в десятичную запись и вывод на экран:
Оставшуюся двоичную запись числа n переводим в десятичное число. Для этого умножаем каждую цифру двоичной записи числа на соответствующую степень числа 2 и складываем результаты. Полученное число выводим на экран.

Теперь давайте рассмотрим применение этого алгоритма к числам от 20 до 600 последовательно.

Применение алгоритма для числа 20:
- Двоичная запись числа 20: 10100
- Удаление последних двух цифр: 101
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Применение алгоритма для числа 21:
- Двоичная запись числа 21: 10101
- Удаление последних двух цифр: 101
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Применение алгоритма для числа 22:
- Двоичная запись числа 22: 10110
- Удаление последних двух цифр: 101
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Как можно заметить, все числа от 20 до 22 дают одинаковый результат при применении алгоритма.

Продолжим этот процесс для всех чисел от 20 до 600 и занесем результаты в таблицу, чтобы определить количество уникальных чисел, которые будут показаны на экране.

Таблица:

| Число | Двоичная запись | Перевод в десятичную запись |
|-------|-----------------|----------------------------|
| 20 | 10100 | 5 |
| 21 | 10101 | 5 |
| 22 | 10110 | 5 |
| ... | ... | ... |
| 599 | 1001010111 | 295 |
| 600 | 1001011000 | 296 |

Как видно из таблицы, есть числа, которые после применения алгоритма дадут одинаковые значения. Чтобы определить количество уникальных чисел, необходимо просмотреть таблицу и посчитать различные значения в столбце "Перевод в десятичную запись".

Задача просмотреть всю таблицу и подсчитать количество уникальных чисел довольно сложна и трудоемка. Однако, мы можем использовать свойства алгоритма, чтобы найти упрощенное решение.

Обратим внимание на двоичную запись чисел от 20 до 600. Заметим, что последние две цифры меняются от 00 до 11, в зависимости от значения последних двух цифр числа. Таким образом, существует всего 4 возможных комбинации последних двух цифр: 00, 01, 10 и 11.

Теперь обратим внимание на то, как изменяется двоичная запись после удаления последних двух цифр. Заметим, что оставшаяся часть двоичной записи не зависит от значения последних двух цифр. То есть, в независимости от значения последних двух цифр, мы всегда будем получать одну и ту же запись после удаления последних двух цифр.

Таким образом, у нас всего 4 возможных комбинации последних двух цифр, которые будут приводить к одному и тому же числу после применения алгоритма. Мы можем применить алгоритм для каждой комбинации последних двух цифр и получить соответствующие числа.

Количество уникальных чисел будет определяться количество значений, которые мы получим после применения алгоритма для этих 4 комбинаций.

Давайте применим алгоритм для последних двух цифр 00:

Числа, у которых последние две цифры 00, это числа, кратные 4 (20, 24, 28, ...).

Применение алгоритма для числа 20:
- Двоичная запись числа 20: 10100
- Удаление последних двух цифр: 101
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Применение алгоритма для числа 24:
- Двоичная запись числа 24: 11000
- Удаление последних двух цифр: 110
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Продолжим этот процесс для всех чисел, кратных 4, до 600 и посмотрим, сколько уникальных чисел мы получим.

Числа, кратные 4, не превышающие 600: 20, 24, 28, ..., 596, 600.

Теперь давайте применим алгоритм для последних двух цифр 01:

Числа, у которых последние две цифры 01, это числа, которые отличаются от чисел, кратных 4, на единицу (21, 25, 29, ...).

Применение алгоритма для числа 21:
- Двоичная запись числа 21: 10101
- Удаление последних двух цифр: 101
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Применение алгоритма для числа 25:
- Двоичная запись числа 25: 11001
- Удаление последних двух цифр: 110
- Перевод в десятичную запись: \(1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^0 = 5\)
- Число, показанное на экране: 5

Продолжим этот процесс для всех чисел, которые отличаются от чисел, кратных 4, на единицу, до 600 и посмотрим, сколько уникальных чисел мы получим.

Числа, которые отличаются от чисел, кратных 4, на единицу, и не превышающие 600: 21, 25, 29, ..., 597.

Аналогичным образом мы можем применить алгоритм для последних двух цифр 10 и 11, чтобы найти числа, которые будут отображаться на экране.

Числа, у которых последние две цифры 10, это числа, которые отличаются от чисел, кратных 4, на две единицы (22, 26, 30, ...).

Числа, у которых последние две цифры 11, это числа, которые отличаются от чисел, кратных 4, на три единицы (23, 27, 31, ...).

Теперь мы можем просуммировать количество уникальных чисел для каждой комбинации последних двух цифр и получить общее количество уникальных чисел, которые будут показаны на экране:

Для последних двух цифр 00: 150 уникальных чисел (от 20 до 600, шаг 4).
Для последних двух цифр 01: 150 уникальных чисел (от 21 до 597, шаг 4).
Для последних двух цифр 10: 150 уникальных чисел (от 22 до 598, шаг 4).
Для последних двух цифр 11: 150 уникальных чисел (от 23 до 599, шаг 4).

Общее количество уникальных чисел, которые будут показаны на экране, равно сумме количества уникальных чисел для каждой комбинации последних двух цифр:

150 + 150 + 150 + 150 = 600.

Таким образом, при последовательном вводе всех натуральных чисел от 20 до 600 с использованием данного алгоритма, на экране будет показано 600 уникальных чисел.